LINEQS

Modèle : $\eta=\beta \eta + \gamma \xi$
où $\beta$ et $\gamma$ sont des matrices et $\eta$ et $\xi$ sont des vecteurs de variables aléatoires. Les composantes de $\eta$correspondent aux variables endogènes; les composantes de $\xi$ correspondent aux variables exogènes et aux variables d'erreur. Les variables dans $\eta$ et $\xi$ peuvent être manifestes ou latentes.
Soit

$$\Gamma\,=\,\left(\begin{array}{c} \gamma \\ I \end{array}\right)$$

Soit

$$B\,=\,\left(\begin{array}{cc} \beta &0\\ 0&0\end{array}\right)$$

La matrice de covariance s'écrit

$$C\,=\,J(I\,-\,B)^{-1} \, \Gamma \Phi \Gamma^{'}(I-B)^{-1'}J^{'}$$

où $\Phi\,=\,E(\xi^{'} \xi)$

Exemple : équations correspondant à l'exemple de la page 5

$Y1\,=\,1.0F1\,+\,E1$

$Y2\,=\,.833F1\,+\,E2$

$Y3\,=\,1.0F2\,+\,E3$

$Y4\,=\,.833F2\,+\,E4$

$X1\,=\,1.0F3\,+\,E5$

$X2\,=\, \lambda F3\,+\,E6$

$F1\,=\,\gamma _1 F3\,+\,D1$

$F2\,=\,\beta F1\,+\,\gamma _2 F3\,+\,D2$

Dans cet exemple on a

$$\eta\,=\,\left(\begin{array}{c}Y1\\ Y2\\ Y3\\ Y4\\ X1\\ X2\\ F1\\ F2 \end{array}\right)$$

$$\beta\,=\,\left(\begin{array}{cccccccc}0&0&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&... ...&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&\beta&0\end{array}\right)$$

$$\gamma\,=\,\left(\begin{array}{ccccccccc} 1&0&0&0&0&0&0&0&0\\... ...0&1&0&\gamma _1\\ 0&0&0&0&0&0&0&1&\gamma _2 \end{array}\right)$$

varF3 = $\phi$

varE1 = $\theta _1$

varE2 = $\theta _2$

varE3 = $\theta _1$

varE4 = $\theta _2$

varE5 = $\theta _3$

varE6 = $\theta _4$

cov(E1,E3) = $\theta _5$

cov(E2,E4) = $\theta _5$

varD1 = $\psi _1$

varD2 = $\psi _2$

$$\Phi\,=\,\left(\begin{array}{ccccccccc} \theta _1&0&\theta _5... ...0&0&0&0&0&0&\psi _2&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&\phi \end{array}\right)$$

Après LINEQS, on écrit les équations du modèle. Les termes du côté gauche de l'équation peuvent être soit des variables manifestes, soit des variables latentes. Les variables du côté gauche de l'équation ne doivent pas apparaître du côté droit de la même équation de sorte que la matrice $\beta$ ait ses éléments diagonaux nuls.

La longueur du nom de chaque variable est restreint à huit caractères. Les noms des variables manifestes sont définis dans DATA. Les noms des variables latentes doivent commencer par la lettre F et les noms des erreurs correspondant aux variables manifestes doivent commencer par E, les noms des erreurs correspondant aux variables latentes doivent commencer par un D.

Chaque équation doit contenir au plus une variable E ou D. Les équations doivent être séparées par des virgules. L'ordre des équations est arbitraire.

Les coefficients à estimer sont indiqués dans les équations par un nom précédant le nom de la variable indépendante. Le nom du coefficient peut être suivi par un nombre réel entre parenthèses indiquant la valeur initiale de ce coefficient. Un nombre réel précédant le nom de la variable indépendante indique un coefficient constant. Si, ni un nom de coefficient, ni un nombre réel, ne précède le nom de la variable indépendante, le coefficient est supposé égal à un.

Si le modèle contient beaucoup de paramètres, on peut préciser tous ces paramètres par le même préfixe. Un préfixe est un nom court suivi de deux points. Un nom est alors attribué au paramètre en ajoutant un suffixe entier à ce préfixe. Le préfixe ne doit pas avoir plus de 5 ou 6 caractères de façon à ce que le nom ne dépasse pas huit caractères.

Commandes possibles avec LINEQS :

• STD

• COV

• BOUNDS

• PARAMETERS
  

STD et COV définissent les éléments de la matrice $\Phi$. Les définitions des paramètres sont séparées par des virgules. Les variables utilisées dans STD et COV doivent être exogènes (elles ne doivent donc pas apparaître à gauche d'une équation).

STD

définit les éléments diagonaux de la matrice $\Phi$, désigne quelles variances sont des paramètres à estimer et lesquelles sont fixées. Les éléments qui ne sont pas définis sont mis à zéro.

Chaque élément du côté droit du signe égal définit la variance de la variable située du côté gauche. Un nom du côté droit signifie que la variance correspondante est un paramètre à estimer. Ce nom peut être suivi par un nombre réel entre parenthèses qui définit la valeur initiale de la variance dans le processus de minimisation. Un nombre réel dans la liste de droite signifie que la variance correspondante est fixée. Le côté droit peut aussi contenir des préfixes.

Exemple

STD

e1-e6 = 6*a (6*3);

définit les six variances des erreurs comme les paramètres a1,...,a6 ayant tous pour valeur initiale 3.

COV

définit les éléments hors diagonale de la matrice $\Phi$, précise quelles covariances sont des paramètres à estimer et lesquelles sont fixées. Les éléments non définis sont mis à zéro.

COV diffère de STD seulement par la signification de la liste des variables du côté gauche. Le côté gauche peut avoir deux formes; l'ordre des noms de variables est très important :

• COV

  e1-e4 = phi1-phi6;

  signifie [e2,e1]= phi1, [e3,e1] = phi2, [e3,e2] = phi3, [e4,e1] = phi4, [e4,e2] = phi5, [e4,e3] = phi6.

  Les éléments symétriques sont déduits aussitôt.

• L'utilisation de deux listes de k1 et k2 variables séparées par un astérisque du côté gauche du signe égal signifie que la liste du côté droit correspond à toutes les k1*k2 paires distinctes de variables dans la matrice $\Phi$. Exemple

  COV
  e1 e2*e3 e4 = phi1-phi4;

  signifie [e1,e3] = phi1, [e1,e4] = phi2, [e2,e3] = phi3, [e2,e4] = phi4.

Si on utilise LINEQS pour l'exemple de la page 5, on tape :

 DATA CMAT(TYPE=COV);
_TYPE_ ='COV'; INPUT _NAME_ $ V1-V6;
cards;
V1   11.834    .        .         .        .         .
V2    6.947   9.364     .         .        .         .
V3    6.819   5.091   12.532      .        .         .
V4    4.783   5.028    7.495     9.986     .         .
V5   -3.839  -3.889   -3.841    -3.625    9.610      .
V6  -21.899 -18.831  -21.748   -18.775   35.522   450.288
;
PROC CALIS COV DATA=CMAT TECH=NR  EDF=931 all;
LINEQS
   V1 = F1 + E1,
   V2 = .833 F1 + E2,
   V3 = F2 + E3,
   V4 = .833 F2 + E4,
   V5 = F3 + E5,
   V6 = LAMB(.5) F3 + E6,
   F1 = GAM1(-.5) F3 + D1,
   F2 = BETA(.5) F1 + GAM2(-.5) F3 + D2;

STD
E1-E6 = THE1-THE2 THE1-THE4 (6 * 3),
D1-D2 = PSI1-PSI2 (2 * 4),
F3 = PHI (6.);

COV
E1 E3 = THE5 (.2),
E4 E2 = THE5 (.2);

RUN;