Degrés de liberté

En général, le nombre de degrés de liberté est défini par la différence entre le nombre de valeurs non redondantes q dans la matrice S de corrélation ou de covariance $n\times n$ et le nombre t de paramètres libres du modèle.

$$df \,=\,q\, - \, t$$

q et t sont évalués différemment par CALIS selon les cas.

En général, le nombre q de valeurs non redondantes est égal au nombre d'éléments de la partie inférieure de la matrice S incluant les éléments diagonaux, moins une constante c dont la valeur dépend des circonstances.

$$q \, = \, n(n\,+\,1)/2 \, - \, c$$

Si on précise un modèle d'équations structurelles contenant des variables manifestes exogènes en utilisant RAM ou LINEQS, CALIS ajoute au nombre c le nombre de variances et covariances de ces variables manifestes exogènes. Si on utilise l'option DFREDUCE=i, CALIS ajoute le nombre i à c. Le nombre i peut être un entier négatif. Si on n'utilise pas DFREDUCE et si on analyse une matrice de corrélation et que la matrice prédite contient des éléments prédéterminés sur la diagonale, CALIS ajoute à c le nombre de ces éléments.
Dans certains modèles compliqués, spécialement ceux utilisant la programmation, il se peut que CALIS ne soit pas capable de détecter toutes les valeurs prédéterminées. Dans ce cas, on doit utiliser l'option DFREDUCE=i pour obtenir le bon nombre de degrés de liberté.

Si on n' utilise pas la programmation pour imposer des contraintes aux paramètres, le nombre t est le nombre de noms de paramètres différents utilisés dans le modèle. Si on utilise la programmation, il y a deux sortes de paramètres : les paramètres indépendants qui sont utilisés seulement du côté droit des expressions et les paramètres dépendants qui sont utilisés au moins une fois à gauche des expressions. Dans ce cas, le nombre t est le nombre de paramètres différents utilisés dans le modèle mais pas utilisés dans la programmation, plus le nombre de paramètres indépendants. Les paramètres indépendants peuvent être définis dans la spécification du modèle ou dans PARMS.

Il y a deux cas principaux où CALIS ne réduit pas les degrés de liberté automatiquement et où on peut utiliser DFREDUCE=i pour obtenir le nombre correct de degrés de liberté. Si certaines estimations sont fixées par des contraintes actives définies dans BOUNDS, BROWNE suggère de réduire les degrés de liberté du nombre de paramètres contraints. Si des contraintes affectent deux éléments diagonaux ou plus de la matrice prédite, on doit réduire le nombre de degrés de liberté en conséquence.