N^{∘} d’ordre 2764

THÈSE

présentée

A L’UNIVERSITÉ PAUL SABATIER DE TOULOUSE

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR DE 3ème CYCLE Spécialité : MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

par

Joseph SAINT PIERRE

TESTS D’HYPOTHÈSES D’INÉGALITÉ DANS LE MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRALISÉ

Soutenue le 3 février 1983 devant la Commission d’Examen :

MM. H. CAUSSINUS Président

\begin{matrix}J.M. BREMNER \\ O. BUNKE \\ J.R. MATHIEU \\ X. MILHAUD \\ A. RAUGI \end{matrix} \} Examinateurs

SAINT PIERRE (Joseph). - Tests d’hypothèses d’inégalité dans le modèle linéaire généralisé. - 60 p. Th. 3ème cycle Mathématiques Appliquées Toulouse III : 1983 ; 2764.

\underline{RÉSUMÉ} :

Dans un premier chapitre, on donne quelques rappels indispensables sur les problèmes de statistique inférentielle sous contraintes d’inégalités et notamment sur la régression isotone et des tests unilatéraux dans le cadre de lois normales multidimensionnelles. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation du modèle linéaire généralisé multidimensionnel avec un rappel des principaux résultats concernant la normalité asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance. Dans le troisième chapitre on construit des tests d’une hypothèse simple contre une hypothèse d’inégalité portant sur toutes les composantes du paramètre, ainsi que des tests d’hypothèses d’inégalité portant sur toutes les composantes du paramètre, cela dans le cadre du modèle linéaire généralisé. On montre que les statistiques de ces tests sont asymptotiquement distribuées suivant la loi de χ̄^{2} . Dans le quatrième chapitre on construit des tests d’une hypothèse linéaire composée contre une hypothèse d’inégalité. On détermine aussi la distribution asymptotique des statistiques de test.

\underline{MOTS CLÉS} :

– Régression isotone

– Hypothèses restreintes

– Test du rapport de vraisemblance

– Modèle linéaire généralisé

– Structure gaussienne tangente

– cône convexe polyédrique

– Test des multiplicateurs de Lagrange

– Loi de χ̄^{2}

– Probabilité orthante

\underline{JURY} et date de soutenance : 3 Février 1983

Président : H. CAUSSINUS Membres : J.M. BREMNER

O. BUNKE

\underline{J.R MATHIEU} (Laboratoire de Statistique et Probabilités) X. MILHAUD A. RAUGI Je remercie

Henri CAUSSINUS pour avoir accepté de présider le jury de cette thèse, ainsi que pour Les nombreux conseils qu’il m’a prodigués lors de L’élaboration de celle-ci,

Jean-René MATHIEU qui a dirigé ce travail, je le remercie pour sa disponibilité et la qualité des relations que j’ai eues avec lui,

Olaf BUNKE, Professeur à L’Université Humboldt de Berlin, pour s’être intéressé à mon travail, pour m’avoir aidé à l’amélioration de celui-ci et pour l’immense honneur qu’il me fait en acceptant de participer au jury de cette thèse,

J.M. REMNER, Professeur à L’université de Kent à Canterbury, poux L’intérêt qu’il a manifesté pour mon travail lors de sa venue à COMPSTAT 82, pour avoir lu une version écrite en anglais de cette thèse, et pour l’honneur qu’il me fait en acceptant de se déplacer poux participer au jury de celle-ci,

Xavier MILHAUD pour avoir suivi mes exposés, pour les remarques qu’il m’a faites et sa participation au jury,

Albert RAUGI pour m’avoir aidé dans mon travail, pour avoir accepté de le lire et de participer au jury,

Akio KUDÔ, Professeur à L’Université de Kyushu à Fukuoka. pour L’intérêt qu’il a porté à mon travail Lors de notre rencontre à Toulouse au cours de COMPSTAT 82 et pour m’avoir. fait parvenir ses publications.

Je remercie P. BAYLAC et R. DEBEURRE pour L’efficacité avec laquelle elles ont mené à bien l’ingrat travail de frappe, O. LANDREVIE dont la gentillesse et la compétence permettent de résoudre la plupart des problèmes administratifs, Ch. TERTRE pour le travail d’impression.

Je remercie tous mes copains du Laboratoire qui ont contribué à rendre l’ambiance de travail plus agréable, je ne peux les citer tous mais je ne peux m’empêcher de remercier personnellement : Mostafa, Amir, Bébert, Bernard, Moha, Bachir, Lucile, Véro, J.R., Pierre Bru ... j’en ai sans doute oubliés ne m’en veuillez pas...

INTRODUCTION

Considérons la situation suivante : soit deux champs en tout point identiques, on fait dans l’un et l’autre champ la même culture, dans le premier champ on met un engrais fertilisant et dans le second on ne met rien. Il est alors possible d’affirmer a priori que le rendement dans le second champ sera inférieur à celui du premier. Cet exemple de situation conduit le statisticien à l’utilisation du test dit "test unilatéral" s’il veut juger de l’efficacité de l’engrais. La justification de cela est évidente : on jugera en effet que l’engrais est "bon" seulement si le rendement observé dans le premier champ est supérieur a celui du second. Alors que si on veut juger de "l’effet" de l’engrais avec le "test bilatéral" on prend en compte la valeur absolue de la différence des rendements observés. Il convient donc dans chaque situation statistique d’utiliser les informations obtenues "a priori". Ce genre de situations a conduit à la théorie de la régression isotone et aux tests d’hypothèses ordonnées ainsi qu’aux tests "unilatéraux multidimensionnels". Ces théories ont été mises au point dans le modèle linéaire par D.J. Bartholomew (1959), A. Kudô (1963), P. Nûesch (1966) et sont largement commentées dans Barlow et Coll. (1972).

La normalité n’étant pas toujours requise, certains auteurs se sont intéressés à l’extension de ces tests à des situations où les variables observées suivent des lois autres que la loi normale, mais cependant usuelles : binomiale, poisson etc... Dans Barlow et Coll. (1972) certains cas particuliers sont étudiés. T. Robertson et E.J. Wegman (1978) se sont penchés sur le problème des tests d’hypothèses ordonnées dans une structure exponentielle. Les tests de ces auteurs utilisent le critère du rapport de vraisemblance. D’autre part, afin de recouvrir ce grand nombre de loi de probabilités usuelles J. Nelder et R.W.M. Wedderburn (1972) ont introduit le modèle linéaire généralisé qui constitue une extension des structures exponentielles. J.R. Mathieu (1978, 1981) a donné une version du modèle linéaire généralisé multidimensionnelle afin de pouvoir étudier certaines situations n’entrant pas dans le cadre du modèle linéaire généralisé de J.A. Nelder et R.W.M. Wedderburn, notamment les tables de contingences. Les auteurs cités ont étudié dans le modèle linéaire généralisé les tests d’hypothèse linéaires ; le but de notre travail est d’étudier dans ce modèle les tests "unilatéraux multidimensionnels".

Dans le premier chapitre on donne des rappels sur les tests d’hypothèses restreintes dans le modèle linéaire c’est-à-dire sur la régression isotone .

Dans le deuxième chapitre on présente le modèle linéaire généralisé (G.L.I.M.) dans sa version multidimensionnelle, on rappelle les principaux résultats notamment sur la normalité asymptotique des estimateurs.

Dans le troisième chapitre on construit dans le G.L.I.M, des tests d’une hypothèse simple contre une hypothèse imposant au paramètre des contraintes d’inégalités sur toutes ses composantes, On montre que les statistiques de tests sont asymptotiquement distribuées suivant une loi de χ̄^{2} que l’on explicite. On construit aussi des tests d’une hypothèse imposant au paramètre des contraintes d’inégalité sur toutes ses composantes contre l’hypothèse contraire, on établit la distribution asymptotique des statistiques de tests. Dans l’un et l’autre cas on utilise la statistique du rapport de vraisemblance ainsi qu’une statistique dont l’écriture est similaire à la statistique du test de Wald d’une hypothèse linéaire. Dans le cas d’une hypothèse nulle imposant au paramètre des contraintes d’inégalités, on construit deux tests à l’aide de multiplicateurs de Lagrange. On montre l’équivalence asymptotique des différents tests utilisés.

Dans le quatrième chapitre on se situe toujours dans le G.L.I.M on s’intéresse aux tests d’une hypothèse nulle linéaire composée contre une hypothèse alternative imposant des contraintes d’inégalités au paramètre. La difficulté supplémentaire par rapport au chapitre précédent est due au fait que les distributions asymptotiques des statistiques de tests dépendent de la vraie valeur du paramètre sous l’hypothèse nulle ; comme celle-ci est composée, il est délicat de construira des tests de niveau asymptotiques constant, ce qu’on s’est efforcé de faire ici.

Chapitre I

RAPPELS SUR LES TESTS D’HYPOTHÈSES RESTREINTES DANS LE CAS GAUSSIEN

I.1 Tests unilatéraux dans une structure gaus-

sienne

Soit la structure statistique : (ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ, σ^{2}), μ ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n}. On s’intéresse au test de H_{0} : (N(μ_{0}, σ^{2}), σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}) contre H_{1} : (N(μ_{0}, σ^{2}), μ > μ_{0}, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}) . Pour abréger les notations on écrit H_{0} : μ = μ_{0} et H_{1} : μ > μ_{0}. X_{1}, X_{2}, ..., X_{n} les applications coordonnées ce sont des variables aléatoires

réelles (v.a.r.) indépendantes de loi N(μ, σ^{2}).

X̄ = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}X_{i} S^{2} = \frac{1}{n−1} ∑_{i=1}^{n}(X_{i} − X̄)^{2}

\frac{\sqrt{n}(X̄−μ)}{S} suit une loi de Student à (n − 1) degrés de liberté. On notera t_{μ,α}, la valeur qui est dépassée avec une probabilité α par une

variable aléatoire de Student à μ degrés de liberté. Le test de Student unilatéral de H_{0} contre H_{1} est le suivant (test de niveau α ).

rejet de H_{0} pour \frac{\sqrt{n}(X̄−μ)}{S} > t_{n−1,α} c’est sans doute l’exemple le plus simple et le plus connu de statistique infé-

rentielle sous contrainte d’ordre.

Soit la structure statistique (ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{1}, σ^{2}), μ_{1} ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{1}} ⊗ (ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{2}, σ^{2}), μ_{2} ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{2}}. on s’intéresse au test de H_{0} : μ_{1} = μ_{2}

contre H_{1} : μ_{1} > μ_{2}

X̄_{1} (resp. X̄_{2}), S_{1}^{2} (resp. S_{2}^{2}) désignent les mêmes choses que précédemment dans la structure (ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{1}, σ^{2}), μ_{1} ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{1}} (resp. (ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{2}, σ^{2}), μ_{2} ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{2}}) .

S^{2} = \frac{(n_{1}−1)S_{1}^{2}+(n_{2}−1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}−2} , Le test de Student au niveau α deH_{0} contre H_{1} se fait de la manière suivante : rejet de H_{0} pour _{\frac{X̄_{1}−X̄_{2}}{\sqrt{(}S^{2}( \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} ))}} > tν, α ν = n_{1} + n_{2} − 2. C’est un autre exemple élémentaire de statistique inférentielle sous contraintes

d’ordre.

\underline{Problème} : Soit la structure statistique :

(ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{1}, σ^{2}), μ_{1} ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{1}} ⊗ (ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{2}, σ^{2}), μ_{2} ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{2}} ⊗ (ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{3}, σ^{2}), μ_{3} ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{3}}. Soient les hypothèses H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = μ_{3} H_{1} : (μ_{1} ≤ μ_{2} < μ_{3}) ∪ (μ_{1} < μ_{2} ≤ μ_{3}) Tester H_{0} contre H_{1} semble être une généralisation naturelle de la situation

précédente. Pourtant cette généralisation entraine certaines difficultés. On est obligé d’étendre la théorie des tests unilatéraux au cas multidimensionnel. Une situation un peu plus générale est la suivante ; on dispose de la structure statistique :

⊗^{k}_{i=1}(ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{i}, σ^{2}), μ_{i} ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{i}}

Soient les hypothèses H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = ... = u_{k} H′ : μ_{1} ≤ μ_{2} ≤ ... ≤ u_{k} H_{1} : H′\H_{0} On veut tester H_{0} contre H_{1}. Ces exemples de situation ont conduit à la théorie de la régression isotone .

Historiquement ce sont les tests d’hypothèses ordonnées qui ont été étudiés les premiers par Bartholonew. Un exposé général des méthodes peut être trouvé dans Barlow, Bartholomew, Bremner, Brunk (1972) chapitre III.

Lorsqu’on veut dans l’exemple précédent tester H_{0} contre H_{1} et que l’on veut utiliser le test du rapport de vraisemblance on a besoin pour le calcul de la statistique de test de l’estimation du maximum de vraisemblance des μ_{i} sous la contrainte H_{0} ce qui est facile, mais on a besoin aussi de l’estimation des μ_{i} sous la contrainte H_{1} ce qui est moins facile. L’estimation des μ_{i} sous la contrainte H_{1} conduit à la régression isotone .

I.2 La régression isotone

(d’après Barlow et Coll (1972)).

\underline{Définition} : Soit X un ensemble fini à k éléments.

X={x_{1}, x_{2}, ...., x_{k} } X est muni de l’ordre simple

x_{1} < x_{2} < ... <x_{k}.

Une fonction f sur X à valeurs réelles est dite isotone si x_{i},x_{j} ∈ X et x_{i} < x_{j} implique f(x_{i}) ≤ f(x_{j}).

On pourrait aussi utiliser la terminologie fonction monotone sur X mais les auteurs précités préfèrent le mot isotone . On note I(X) l’ensemble des fonctions isotones sur X

\underline{Définition} : Soit g une fonction donnée sur X à valeurs réelles et w une fonction donnée sur X à valeurs réelles et positives, une fonction g^{⋆} isotone sur X est une régression isotone de g avec les poids w par rapport à l’ordre simple x_{1} < x_{2} < ... <x_{k} si elle vérifie l’égalité suivante :

∑_{x∈X}[g(x) − g^{⋆}(x)]^{2}w(x) = Inf_{f∈I(X)}∑_{x∈X}[g(x) − f(x)]^{2}w(x).

C’est à dire que g^{⋆} est la meilleure approximation isotone de g .

\underline{Remarques} :

Rechercher g^{⋆} est strictement la même chose que rechercher le vecteur de ℝ^{k} de composantes g^{⋆}(x_{1}), g^{⋆}(x_{2}), ...g^{⋆}(x_{k})

tel que g^{⋆}(x_{1}) ≤ g^{⋆}(x_{2}) ≤ ... ≤ g^{⋆}(x_{k})

et qui minimise la quantité ∑_{i=1}^{k}[g(x_{i}) − y_{i}]^{2}w(x_{i})

parmi les vecteurs y ∈ ℝ^{k} tels que y_{1} ≤ y_{2} ≤ ... ≤ y_{k} .

Soit C = {y ∈ ℝ^{k} /y_{1} ≤ y_{2} ≤ ... ≤ y_{k}} .

Munissons ℝ^{k} du produit scalaire <, >_{w} défini par

< y, y′ >_{w}= ∑_{i=1}^{k}y_{i}, y′_{i}w(x_{i}).

On note || ||_{w} la norme associée .

Le problème de recherche de la régression isotone se ramène au problème de minimisation suivant :

Inf_{y∈C}||^{t}[g(x_{1}), ..., g(x_{k})] − y||_{w}^{2}  (I.1)

C est un cône convexe et fermé (évident).

\underline{Proposition I.1} : La régression isotone d’une fonction existe et est unique.

En effet C étant convexe et fermé il résulte directement du théorème de projection que le problème admet une solution unique ^{t}(y_{1}, ..., y_{k}) qui est la projection de ^{t}(g(x_{1}), ..., g(x_{k})) sur C au sens du produit scalaire <, >_{w} .

I.2.1 Interprétation graphique

Soit g et w deux fonctions définies sur X de la même manière que précédemment et considérons un repère orthonormé du plan. Plaçons dans ce repère k + 1 points définis par leurs coordonnées P_{j}j = 0, 1, ..., k.

P_{j} = (W_{j}, G_{j})

avec W_{j} = ∑_{i=1}^{j}w(x_{i})

et G_{j} = ∑_{i=1}^{j}w(x_{i})g(x_{i}) pour j ≠ 0

P_{0} = (W_{0}, G_{0}) = (0, 0)

Le diagramme joignant successivement les points P_{j} depuis P_{0} jusqu’à P_{k} est appelé "diagramme des sommes cumulées" (en anglais : Cumulative Sum Diagram d’où l’abréviation C.S.D.). On considère le "plus grand minorant convexe" (en anglais Greatest Convex Minorant G.C.M.) du diagramme des sommes cumulées et on note P le point du G.C.M. d’abscisse W_{j} et on définit G_{j}^{⋆} comme étant l’ordonnée du point P_{j}^{⋆} P_{j} = (W_{j}, G_{j}).

\underline{Proposition I.2} : En chaque point x_{j} de X la pente du G.C.M, c’est-à-dire

\frac{G_{j}^{⋆}−G_{j−1}^{⋆}}{W_{j}−W_{j−1}} est la valeur de la régression isotone de g en x_{j}, g^{⋆}(x_{j}).

La démonstration de ce résultat se trouve dans Barlow et Coll. (1972) (théorème 1.1 page 112).

L’idée est la suivante :

Si C est un convexe fermé si x^{⋆} est la projection de x sur C au sens de <, > alors x^{⋆} est caractérisé par la relation

∀y ∈ C < x − x^{⋆}, x^{⋆} − y >≥ 0

cette inégalité appliquée à la régression isotone donne : g^{⋆} régression isotone de g si et seulement si ∀f ∈ I(X)

∑_{x∈X}[g(x) − f(x)]^{2}w(x) ≥ ∑_{x∈X}[g(x) − g^{⋆}(x)]^{2}w(x) + ∑_{x∈X}[g^{⋆}(x) − f(x)]^{2}w(x)

on vérifie que g^{⋆} définie par g^{⋆}(x) = \frac{G_{j}^{⋆}−G_{j−1}^{⋆}}{W_{j}−W_{j−1}} satisfait cette inégalité, et d’après l’unicité de la régression isotone prouve que c’est effectivement la régression isotone de g.

I.2.2 Propriétés de la régression isotone

∀g fonction de X dans ℝ ∀μ ∈ ℝ ∀λ ∈ ℝ_{+}^{⋆} (g + μ)^{⋆} = g^{⋆} + μ (λg)^{⋆} = λg^{⋆}

La démonstration de ces propriétés est immédiate.

I.2.3 Calcul de la régression isotone .

Il existe plusieurs algorithmes de calcul de la régression isotone assez longuement détaillés dans Barlow et Coll. (1972). Il existe une formule simple pour l’écriture permettant de calculer g^{⋆}(x_{i}) dite formule max-min

∀i = 1, ..., k g^{⋆}(x_{i}) = max_{s≤i} min_{t≥i} \frac{∑_{r=s}^{t}g(x_{r})w(x_{r})}{∑_{r=s}^{t}w(x_{r})}

\underline{Remarques} : Ce n’est pas la formule la plus simple ni la plus rapide pour calculer g^{⋆}(x_{i}).

Il existe des formules équivalentes par exemple on a

g^{⋆}(x_{i}) = min_{t≥i} max_{s≤i} \frac{∑_{r=s}^{t}g(x_{r})w(x_{r})}{∑_{r=s}^{t}w(x_{r})}

I.2.4 Estimation du maximum de vraisemblance sous contraintes

d’ordre dans une structure gaussienne.

Soit la structure statistique suivante

⊗^{k}_{i=1}(ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{i}, σ_{i}^{2}), μ_{i} ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{i}}

on note X_{ij}. les applications coordonnées. X_{ij} sont des variables aléatoires réelles indépendantes de loi N(μ_{i}, σ_{i}^{2}) On suppose que les σ_{i}^{2} sont connus

∑_{i}^{k}n_{i} = n

La vraisemblance s’écrit

\frac{1}{(2π)^{n/2}} ∏_{i=1}^{k} \frac{1}{σ_{i}^{n_{i}}} exp\{−\frac{1}{2}∑_{i=1}^{k} \frac{1}{σ_{i}^{2}} ∑_{j=1}^{n_{i}}(x_{ij} − μ_{i})^{2}\}

maximiser la vraisemblance se ramène à minimiser

∑_{i=1}^{k} \frac{1}{σ_{i}^{2}} ∑_{j=1}^{n_{i}}(x_{ij} − μ_{i})^{2}  (I.2)

en posant x̄_{i.} = \frac{1}{n_{i}} ∑_{j=i}^{n_{i}}x_{ij}

on trouve

(I.2) = ∑_{i=1}^{k} \frac{1}{σ_{i}^{2}} ∑_{j=i}^{n_{i}}(x_{ij} − x̄_{i.})^{2} + ∑_{i=1}^{k} \frac{n_{i}}{σ_{i}^{2}} (x̄_{i.} − μ_{i})^{2}

maximiser la vraisemblance se ramène donc à minimiser

∑_{i=1}^{k} \frac{n_{i}}{σ_{i}^{2}} (x̄_{i.} − μ_{i})^{2}

on pose w_{i} = \frac{n_{i}}{σ_{i}^{2}} .

Soit H_{0} la contrainte μ_{1} = μ_{2} = ... = μ_{k} . Il est bien connu que la valeur de μ qui minimise

∑_{i=1}^{k}w_{i}(x̄_{i.} − μ)^{2} est μ̂ = \frac{∑_{i=1}^{k}w_{i}x̄_{i.}}{∑_{i=1}^{k}w_{i}}.

Sous la contrainte H_{0} l’estimateur du maximum de vraisemblance de μ est donc

X̄ = \frac{∑_{i=1}^{k}w_{i}X̄_{i.}}{∑_{i=1}^{k}w_{i}} où X̄_{i.} = \frac{1}{n_{i}} ∑_{j=i}^{n_{i}}X_{ij}

Soit H′ la contrainte μ_{1} ≤ μ_{2} ≤ ... ≤ μ_{k} .

On veut minimiser ∑_{i=1}^{k}w_{i}(x̄_{i.} − μ)^{2} sous H′ . D’après ce que l’on a vu les μ_{i}^{⋆} qui vérifient

∑_{i=1}^{k}w_{i}(x̄_{i.} − μ_{i}^{⋆})^{2} = Inf_{μ∈H′}∑_{i=1}^{k}w_{i}(x̄_{i.} − μ_{i})^{2}

constituent ce que l’on appelle régression isotone des x̄_{i.} avec les poids w_{i}.

I.3 Test du rapport de vraisemblance dans le cas normal d’une hypothèse d’homogénéité contre une hypothèse ordonnée des moyennes

I.3.1 Test du χ̄^{2}

Soit la structure statistique

⊗^{k}_{i=1}(ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{i}, σ^{2}), μ_{i} ∈ ℝ, σ ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{i}}

H_{0} μ_{1} = μ_{2} = ... = u_{k} H′ μ_{1} ≤ μ_{2} ≤ ... ≤ u_{k} H_{1} = H′\H_{0}

Soit λ le rapport de vraisemblance

λ = \frac{max_{μ∈H′} vraisemblance}{max_{μ∈H_{0}} vraisemblance}

T = 2 Logλ = ∑_{i=1}^{k}w_{i}(x̄_{i.} − μ̂_{i})^{2} − ∑_{i=1}^{k}w_{i}(x̄_{i.} − μ_{i}^{⋆})^{2}.

Soit C le cône de ℝ^{k} déjà défini C = {x ∈ ℝ^{k}/x_{1} ≤ x_{2} ≤ ... ≤ x_{k}} comme on l’a vu ^{t}(μ_{1}^{⋆}, ..., μ_{k}^{⋆}) est la projection du vecteur ^{t}(x̄_{1.}, ..., x̄_{k.}) sur C au sens du produit scalaire déjà défini.

C est un cône polyédrique. Le vecteur \underline{μ̂} (^{t}\underline{μ̂} = (μ̂, ..., μ̂)) appartient à toutes les faces de ce polyèdre. On applique le théorème de Pythagore à la face de ce polyèdre sur laquelle se trouve ^{t}(μ_{1}^{⋆}, ..., μ_{k}^{⋆}). On trouve

∑_{i=1}^{k}w_{i}(x̄_{i.} − μ̂)^{2} − ∑_{i=1}^{k}w_{i}(x̄_{i.} − μ_{i}^{⋆})^{2} = ∑_{i=1}^{k}w_{i}(μ_{i}^{⋆} − μ̂)^{2}.

La statistique du test du rapport de vraisemblance de H_{0} contre H_{1} est donc

∑_{i=1}^{k}w_{i}(μ_{i} − μ̂)^{2}.

À cause de la similitude d’écriture avec le test du rapport de vraisemblance de H_{0} contre ℝ^{k}\H_{0} les premiers auteurs à avoir utilisé cette statistique l’ont appelée statistique de χ̄_{k}^{2} ; remarquons tout de suite que le paramètre k ne caractérise pas la distribution de la statistique sous l’hypothèse nulle car celle-ci dépend aussi de H_{1} et des poids w_{1}, w_{2}, ..., w_{k}

Le test du rapport de vraisemblance de H_{0} contre H_{1} se fait de la manière suivante : rejet de H_{0} pour les grandes valeurs de χ̄_{k}^{2}.

\underline{Remarque} : dans le cas usuel où les variances sont égales on a l’expression

σ^{2}χ̄_{k}^{2} = ∑_{i=1}^{k}n_{i}(μ_{i}^{⋆} − μ̂)^{2}

I.3.2 Test du Ē^{2}

Dans la structure statistique ⊗^{k}_{i=1}(ℝ, ℬ_{ℝ} , {N(μ_{i}, σ^{2}), μ_{i} ∈ ℝ, σ_{i} ∈ ℝ_{+}^{⋆}})^{n_{i}}

si les σ_{i} sont inconnus mais peuvent être mis sous la forme σ_{i}^{2} = a_{i}σ^{2} où les a_{i} sont connus et σ^{2} inconnu on peut étendre dans ce cas là le test du χ̄^{2} En particulier dans le cas où les a_{i} = 1 ∀i = 1, ..., k

Pour tester H_{0} contre H_{1} la statistique du test du rapport de vraisemblance est

Ē^{2} = ∑_{i=1}^{k}n_{i}(μ_{i}^{⋆} − μ̂)^{2}/∑_{i=1}^{k}∑_{j=1}^{n_{i}}(x_{ij} − μ̂)^{2}

on rejette H_{0} pour les grandes valeurs de Ē^{2} .

Pour construire les tests du χ̄^{2} ou du Ē^{2} il est intéressant d’avoir la distribution des statistiques de test sous l’hypothèse nulle afin de déterminer le niveau des tests construits ou pour savoir comment construire un test de niveau donné. Nous allons donc énoncer 2 résultats qui déterminent les distributions recherchées. Ces résultats se trouvent avec leurs démonstration dans Barlow et Coll. (1972).

\underline{Proposition I.3} : Si H_{0} est vraie.

∀c > 0 P (χ̄_{k}^{2} ≥ c) = ∑_{l=2}^{k}p(ℓ, k)P (χ_{l−1}^{2} ≥ c)

P (χ̄_{k}^{2} = 0) = p(1, k)

où p(ℓ, k) désigne la probabilité que la régression isotone M_{i}^{⋆} prenne exactement ℓ valeurs distinctes et χ_{ν}^{2} désigne une variable aléatoire de χ^{2} à ν degrés de liberté ce qui justifie aussi a posteriori la notation χ̄^{2}.

\underline{Proposition I.3 bis} : Si H_{0} est vraie.

∀c > 0 P (Ē_{k}^{2} ≥ c) = ∑_{l=2}^{k}p(ℓ, k)P (B_{\frac{1}{2} (ℓ−1), \frac{1}{2} (n−1)} ≥ c)

P (Ē_{k}^{2} = 0) = p(1, k) où p(ℓ, k) a la même signification que dans la proposition précédente et B_{a,b} désigne une variable aléatoire ayant la distribution bêta de paramètres a et b.

\underline{Remarque} :

Les distributions du χ̄_{k}^{2} et du Ē_{k}^{2} dépendent des coefficients p(l, k), ces coefficients dépendent de l’ordre et des poids utilisés pour la régression isotone .

La difficulté de la mise en œuvre des tests résulte de la difficulté du calcul de ces coefficients.

I.3.3 calcul des p(ℓ, k) dans le cas de l’ordre simple et des poids égaux

Dans ce cas particulier on a le résultat suivant

p(ℓ, k) = \frac{|S_{k}^{ℓ}|}{k!} où |S_{k}^{ℓ}| désigne le coefficient de z^{ℓ} dans le polynôme

z(z + 1)....(z + k − 1) = ∑_{j=0}^{k−1}(z + j)

Les p(ℓ, k) vérifient

p(1, k) = \frac{1}{k}

p(k, k) = \frac{1}{k!}

p(ℓ, k) = \frac{1}{k} p(ℓ − 1, k − 1) + \frac{k−1}{k}p(ℓ, k − 1).

Il n’est pas difficile, à partir de ces formules, d’établir des tables de coefficients p(ℓ, k) surtout lorsque k n’est pas trop grand.

Pour les tables de coefficients p(ℓ, k) et pour le calcul de ces coefficients dans les cas où l’ordre n’est pas simple et où les poids ne sont pas égaux on peut encore se référer à Barlow et coll. (1972).

I.4 Équivalent du test unilatéral dans le cas multidimensionnel

Le problème est le suivant Y_{1}, Y_{2}, ..., Y_{n} sont n variables aléatoires à valeurs dans ℝ^{k} indépendantes et de même loi Y_{i} suit une loi N_{k}(μ, Σ) μ ∈ ℝ^{k} et Σ est la matrice des variances et covariances des Y_{i}.

Les Y_{i} sont des variables aléatoires multinormales. On considère les hypothèses suivantes

H_{0} μ = 0 i.e. μ_{i} = 0 ∀i = 1, ...k

H μ_{i} ≥ 0 ∀i = 1, ...k

H_{1} = H\H_{0}.

Et on s’intéresse au test de l’hypothèse H_{0} contre l’hypothèse H_{1}.

\underline{Remarque} :

Par changement de variables de nombreux problèmes peuvent se ramener à l’étude de ce test, c’est notamment le cas des tests que l’on fait dans le cadre de la régression isotone .

Peut se ramener au problème précédent la situation suivante : g est une bijection linéaire de ℝ^{k} dans ℝ^{k} H_{0} : μ = 0 H : g(μ) ≥ 0 (c’est à dire toutes les composantes de g(μ) sont positives

ou nulles)

H_{1} : H\H_{0} et on veut tester H_{0} contre H_{1}. Ce type de tests ont été étudiés simultanément par Kudô (1963) et Nüesch

(1964) en étant considérés par ces auteurs comme une généralisation des tests d’hypothèses ordonnées étudiés par Bartholomew (1959).

On a la structure statistique suivante (ℝ^{k}, ℬ_{ℝ^{k}} , {N_{k}(μ, Σ), μ ∈ ℝ^{k}})^{n} Σ est supposée connue symétrique définie positive. On utilise le test du rapport de vraisemblance.

Ȳ = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}Y_{i}

Ȳ est l’estimateur du maximum de vraisemblance de μ dans la structure précédente.

La statistique du test du rapport de vraisemblance que l’on appelle aussi χ̄^{2} est donnée par

χ̄^{2} = n{^{t}Ȳ Σ^{−1}Ȳ − min_{μ_{i}≥0} ^{t}(Ȳ − μ)Σ^{−1}(Ȳ − μ)} .

On est donc conduit au problème de minimisation suivant

min_{μ_{i}≥0} ^{t}(Ȳ − μ)Σ^{−1}(Ȳ − μ)

Soit H le cône convexe polyédrique défini par H = (x ∈ ℝ^{k}/x_{i} ≥ 0 ∀i = 1, ..., k). On considère le produit scalaire induit par Σ^{−1} ∀x, y ∈ ℝ^{k} < x, y >_{Σ^{−1}}=^{t} xΣ^{−1}y. On note ||.||_{Σ^{−1}} la norme associée. Le problème s’écrit de la manière suivante : trouver μ^{∗} ∈ H tel que

||Ȳ − μ^{∗}||_{Σ^{−1}} = Inf_{μ∈H}||Ȳ − μ||_{Σ^{−1}}.

On en déduit donc que μ^{∗} est la projection de Ȳ sur le convexe fermé H, il en résulte l’existence et l’unicité de μ^{∗}. C’est l’estimateur du maximum de vraisemblance de μ sous la contrainte H

χ̄^{2} = n{^{t}Ȳ Σ^{−1}Ȳ − ^{t}(Ȳ − μ^{∗})Σ^{−1}(Ȳ − μ^{∗})}

= n(||Ȳ ||_{Σ^{−1}}^{2} − ||Ȳ − μ^{∗}||_{Σ^{−1}}^{2})

H est un polyèdre, μ^{∗} est la projection de Ȳ sur H, c’est donc la projection sur une face de ce polyèdre considérons le sous-espace vectoriel qui porte cette face en appliquant le théorème de pythaqore on a

||Ȳ ||_{Σ^{−1}}^{2} = ||Ȳ − μ^{∗}||_{Σ^{−1}}^{2} + ||μ^{∗}||_{Σ^{−1}}^{2}

d’où

χ̄^{2} = n||μ^{∗}||_{Σ^{−1}}^{2}

Pour la mise en œuvre du test on voit donc qu’il est nécessaire de calculer μ^{∗} et cela nécessite l’utilisation d’algorithmes efficaces de calcul de la projection d’un point sur un cône convexe polyédrique. Voir par exemple Kudô (1975) Bremner (1982). Soit H le polyèdre déjà défini plus haut. On peut, si k est petit, considérer toutes les faces de H et les sous espaces de ℝ^{k} qui portent ces faces. Il y a en tout 2^{k} faces. Pour calculer la projection d’un point x sur H, on peut utiliser la méthode suivante : calculer la projection de x sur chacun des sous espaces défini (cela est classique) puis, parmi toutes les projections ainsi obtenues, on considère celles qui appartiennent effectivement à H et parmi celleslà on considère celle qui minimise la distance voulue. Dés que k est assez grand cette méthode peut s’avérer assez lourde et il faut donc trouver des méthodes plus performantes, trouver des critères rapides pour déterminer sur quelle face de H se trouve la projection.

Comme dans le cas des hypothèses ordonnées on fait le test de H_{0} contre H_{1} de la manière suivante :

rejet de H_{0} pour les grandes valeurs de χ̄^{2}

Ici aussi il est intéressant de disposer de la distribution de la statistique χ̄^{2} sous hypothèse nulle afin de pouvoir construire des tests de niveau α donné. On énonce donc un résultat qui se trouve dans Barlow et Coll. (1972).

\underline{Proposition I.4} : Si H_{0} est vraie.

sic > 0 P (χ̄_{k}^{2} ≥ c) = ∑_{j=1}^{k}q(j, k)P (χ_{j}^{2} ≥ c)

P (χ̄_{k}^{2} = 0) = q(0, k)

q(j, k) désigne la probabilité que μ^{⋆} ait exactement j coordonnées non nulles. χ_{j}^{2} désigne une variable aléatoire de χ^{2} à j degrés de liberté.

\underline{Remarques} :

- On peut noter la similitude du rôle joué par q(j, k) dans cette proposition avec celui joué par les p(ℓ, k) dans les propositions I.3 et I.3 bis ; cela justifie a posteriori la notation commune χ̄^{2} pour les deux statistiques.

- on a ∑_{j=0}^{k}q(j, k) = 1

- On peut parler de loi de χ̄^{2} on appelle ainsi les "mélanges" de lois de χ^{2} c’est-à-dire que la fonction de répartition d’une loi de χ̄^{2} est une combinaison linéaire convexe de lois de χ^{2}.

- Une loi de χ̄^{2} n’admet pas a priori une densité par rapport à la mesure de Lebesgue car en général P (χ̄^{2} = 0) = q(0, k) ≠ 0 ; la mesure de probabilité admet donc une partie atomique.

- La loi de χ̄^{2} obtenue dépendant étroitement de la matrice Σ on introduit donc la notation χ̄_{Σ}^{2} pour désigner cette loi.

Une forme plus utile de ce résultat est la proposition suivante

\underline{Proposition I.5} : Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans ℝ^{k} Y suivant une loi multinormale de moyenne nulle de matrice de variance et

covariance Σ connue symétrique définie positive

Y ∼ N_{k}(0, Σ)

H = {x ∈ ℝ^{k}/x_{i} ≥ 0 ∀i = 1, ..., k}

H cône convexe polyédrique particulier appelé quadrant positif. Y_{H} désigne la projection de Y sur H au sens du produit scalaire défini par

Σ^{−1}.

||Y_{H}||_{Σ^{−1}}^{2} =^{t} Y_{H}Σ^{−1}Y_{H} norme carrée de ce vecteur pour le même produit scalaire.

Alors ||Y_{H}||_{Σ^{−1}}^{2} suit une loi de χ̄_{Σ}^{2}.

Pour la démonstration de ces résultats on se référera à Kudô (1963) et à Nüesch (1966).

I.5 Test de H contre ℝ^{k}\H.

On considère encore la structure statistique suivante

(ℝ^{k}, ℬ_{ℝ^{k}} , {N_{k}(μ, Σ), μ ∈ ℝ^{k}})^{n}

on considère l’hypothèse H comme précédemment

H : μ ≥ 0 c’est à dire μ_{i} ≥ 0 ∀i = 1, ..., k

et on s’intéresse au test de l’hypothèse H contre l’hypothèse ℝ^{k}\H.

Par un calcul analogue à celui fait dans le cas du test de l’hypothèse H_{0} contre l’hypothèse H on trouve l’expression de la statistique du rapport de vraisemblance.

On appelle aussi cette statistique χ̄^{2} et on a

χ̄^{2} = n||Ȳ − μ^{∗}||_{Σ^{−1}}^{2}

Ȳ désigne comme précédemment la moyenne des observations c’est-à-dire l’estimateur du maximum de vraisemblance de μ sans contrainte, μ^{∗} est la projection de Ȳ sur H au sens de Σ^{−1} c’est-à-dire l’estimateur du maximum de vraisemblance de μ sous la contrainte H.

Ce type de test a été étudié dans le cadre de la régression isotone et des tests d’hypothèse ordonnées par Robertson et Wegman (1978).

On construit le test de la manière suivante

rejet de H pour les grandes valeurs de χ̄^{2} .

Le test ainsi construit n’est évidemment pas de niveau constant cela étant dû à la complexité de l’hypothèse nulle, comme les auteurs précités on utilisera donc la notion de sous hypothèse la moins favorable, c’est-à-dire celle qui donne la plus grande erreur de première espèce.

H_{0} : μ = 0 H_{0} ⊂ H

On va montrer que H_{0} est la sous hypothèse la plus défavorable de H dans le sens précisé plus haut. Pour cela on a besoin d’un résultat préliminaire que l’on peut retrouver par exemple dans Robertson et Wegman (1978).

\underline{Proposition I.6} - ∀x ∈ ℝ^{k} ∀z ∈ H x_{H} désignant la projection de x sur H au sens d’un produit scalaire quelconque <, >, ||.|| désignant la norme associée à ce produit scalaire. (x + z)_{H} désigne la projection de (x + z) sur H au sens de <, > alors

||x + z − (x + z)_{H}|| ≤ ||x − x_{H}|| \underline{Démonstration} : H convexe fermé (x + z)_{H} projection de x + z sur H est donc caractérisé par

∀y ∈ H, ||x + z − (x + z)_{H}|| ≤ ||x + z − y]].

H cône convexe si z ∈ H, x_{H} ∈ H alors x_{H} + z ∈ H en faisant dans l’inégalité précédente y = x_{H} + z on trouve le résultat cherché.

Sous H_{0} Ȳ suit une N(0, \frac{1}{n}Σ) Sous μ Ȳ suit une N(μ, \frac{1}{n}Σ) Sous H_{0} Ȳ + μ suit une N(μ, \frac{1}{n}Σ) Ȳ_{H} = μ^{⋆} le produit scalaire utilisé en l’occurrence étant celui induit bien sûr

par Σ^{−1}.

Soit μ ∈ H d’après la proposition I.6 on a ||Ȳ + μ − (Ȳ + μ)_{H}||_{Σ^{−1}}^{2} ≤ ||Ȳ − μ||_{Σ^{−1}}^{2} De plus sous μ ||Ȳ − μ^{⋆}||_{Σ^{−1}}^{2} suit la même loi que ||Ȳ + μ − (Ȳ + μ)_{H}||_{Σ^{−1}}^{2}

sous H_{0} on en déduit donc la proposition suivante \underline{Proposition I.7} : ∀μ ∈ H P μ(n||Ȳ − μ^{⋆}||_{Σ^{−1}}^{2} ≥ c) ≤ P_{H_{0}}(n||Ȳ − μ^{⋆}||_{Σ^{−1}}^{2} ≥ c) Ceci prouve que le test est de niveau maximal pour H_{0} et justifie le fait que

l’on étudie le test sous l’hypothèse H_{0}.

Robertson et Wegman (1978) ont montré un résultat analogue pour le cas des hypothèses d’ isotonie.

On cherche des tests dont le niveau soit connu sous H_{0}. Pour cela on a besoin de connaître la distribution de la statistique χ̄^{2} sous H_{0}. \underline{Proposition I.8} : Si H_{0} est vraie. P (χ̄^{2} = 0) = q(k, k) Pour c > 0

P (χ̄^{2} ≥ c) = ∑_{ℓ=0}^{k−1}q(ℓ, k)P (χ_{k−ℓ}^{2} ≥ c)

Où q(ℓ, k) désigne comme précédemment la probabilité que μ^{⋆} ait exactement ℓ éléments non nuls et χ_{j}^{2} désigne une variable aléatoire de χ^{2} à j degrés de liberté.

\underline{Remarque} : La loi de χ̄^{2} ainsi obtenue dépend aussi de la matrice Σ mais comme elle est

différente de la loi que nous avons notée χ̄_{Σ}^{2} on la notera χ̄_{(Σ^{0})}^{2} et on l’appellera loi polaire de la loi χ̄_{Σ}^{2} car la loi χ̄_{Σ}^{2} est obtenue en prenant la norme de la projection d’une loi normale sur un cône et la loi χ̄_{(Σ^{0})}^{2} est obtenue en projetant la même loi sur le cône polaire du précédent.

I.6 Expression de la loi de χ̄_{Σ}^{2}

Comme dans le cas des tests d’hypothèses d’isotonie on avait besoin de connaître l’expression des coefficients p(ℓ, k) on a besoin maintenant, pour déterminer complètement la loi χ̄_{Σ}^{2}, de connaître l’expression des coefficients q(j, k).

\underline{Définition} : Soit Λ une matrice carrée kxk définie positive et symétrique on appelle probabilité orthante pour la loi normale N(0, Λ) et on la note P (Λ), la probabilité qu’une variable aléatoire multinormale de moyenne nulle et de matrice de variances et covariances Λ ait toutes ses composantes positives.

P (Λ) = ∫_{H} \frac{1}{(detΛ)^{1/2}(\sqrt{2π})^{n}} exp − \frac{1}{2}^{t}xΛ^{−1}xdx = ∫_{H} d(N(0, Λ)).

H désigne le quadrant positif de ℝ^{k}

Soit K = 1, ..., k Soit M ⊂ K on note M′ = K\M n(M) = Cardinal de M Σ_{M} est la matrice des variances et covariances des Y_{i}i ∈ M Σ_{M,M′} désigne la même chose sous la condition Y_{j} = 0 si j ∈ M′ On a le résultat important suivant :

P roba(χ̄_{Σ}^{2} ≥ c) = ∑_{∅⫅M⫅K}P roba(χ_{n(M)}^{2} ≥ c)P ((Σ_{M′})^{−1})P (Σ_{M,M′})

Ce résultat est dû à A. Kudô (1963). De là on peut déduire de façon immédiate la valeur des coefficients q(j, k). Pour la mise en œuvre pratique des tests le calcul de la probabilité orthante

soulève quelques difficultés en effet il n’existe pas de méthodes exactes de calcul pour les dimensions de k supérieures à 3.

I.7 Lois de χ̄^{2} décentrées

Pour l’étude complète des tests qui ont été définis il est nécessaire d’étudier leur puissance pour cela on a besoin des lois de χ̄^{2} décentrées.

Soit Y une variable aléatoire à valeur dans ℝ Y suivant une loi multinormale de moyenne h et de matrice de variance et

covariance Σ connue symétrique définie positive

Y ∼ N_{k}(h, Σ)

H est le quadrant positif de ℝ^{k}, alors ||Y_{H}||_{Σ^{−1}}^{2} suit la loi que nous noterons χ̄_{Σ,h}^{2} loi de χ̄^{2} décentrée dépendant de la matrice Σ et du paramètre de décentrage

h.

Expression de cette loi. Il n’est pas possible de donner une expression simple de la loi χ̄_{Σ,h}^{2} .

Chapitre II

MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRALISÉ

II.1 Introduction

Ce modèle a été introduit par Nelder et Wederburn (1972), il contient le cas des distributions binomiales, des lois de Poisson et les lois gamma ainsi bien sûr que les lois normales.

Ce modèle a été abondamment étudié depuis ; notamment par J.R. Mathieu (1978, 1981) dont nous utilisons les notations. Pour une étude plus détaillée nous renvoyons à J.R. Mathieu (1978, 1981).

On dispose d’un "échantillon" ω = (ω_{1}, ω_{2}, ..., ω_{n}) tel que ·ω_{i} est une réalisation d’une variable aléatoire réelle Ω_{i} ·ces n variables aléatoires sont indépendantes. ·Ω_{i} admet une densité f_{i}(., θ, ξ) par rapport à une mesure ℳ sur ℝ, cette

densité est non nulle sur une partie U de ℝ indépendantes de paramètres inconnus θ et ξ.

·∀u ∈ U f_{i}(u, θ, ξ) = exp{α(ξ)[γ_{i}u − μ(γ_{i}) − η_{i}(u)] + ψ(u, ξ)} (II.1)

Où t_{i} est une application linéaire connue de ℝ^{m} dans ℝ^{r} ϕ est une application connue de ℝ^{r} dans ℝ θ appartient à Θ ⊂ ℝ^{m} α(ξ) est strictement positif μ est une application connue de ℝ dans ℝ ψ est une application connue de ℝ × Ξ dans ℝ η_{i} est une application connue de ℝ dans ℝ

θ ∈ Θ ⊂ ℝ^{m} ⟶^{t_{i}} t_{i}θ ∈ ℝ^{r} ⟶^{ϕ} γ_{i} = ϕ(t_{i}θ) ∈ ℝ

Sous des conditions de régularité on peut montrer que Ω_{i} admet pour moyenne et variance

\{ \begin{matrix}E_{θ,ξ}(Ω_{i}) = μ′ ∘ ϕ(t_{i}θ) = μ′(γ_{i}) \\ σ_{θ,ξ}^{2}(Ω_{i}) = \frac{μ′′∘ϕ(t_{i}θ)}{α(ξ)} \end{matrix} .  (II.2)

α(ξ) est un paramètre d’échelle puisqu’il n’affecte pas la moyenne, il sera considéré comme un paramètre fantôme ; de plus ce paramètre est souvent connu et alors f_{i} appartient à la famille exponentielle, le cas le plus important dans lequel α(ξ) est inconnu est le cas d’une loi gaussienne avec une variance σ^{2} inconnue qui est alors 1/α(ξ) .

On s’intéresse donc uniquement au paramètre θ qui est le seul paramètre qui intervient pour la moyenne et dont le rôle est comparable celui des coefficients d’une régression ; en particulier si μ′ ∘ ϕ est la fonction identité et si μ′′ est une fonction constante on retrouve le modèle classique de la régression linéaire.

II.2 Modèle linéaire généralisé multidimensionnel

Le modèle précédent ne recouvrant que le cas où les observations sont unidimensionnelles, J.R. Mathieu (1978, 1981) a introduit une version du modèle linéaire généralisé qui recouvre des cas où l’on a affaire avec des observations multidimensionnelles. La situation est la suivante :

On dispose d’un "échantillon" ω = (ω_{1}, ω_{2}, ..., ω_{n}) où ·ω_{i} est la réalisation d’une variable aléatoire à valeur ℝ^{k}, Ω_{i} ·ces n variables aléatoires sont indépendantes. ·Ω_{i} admet une densité f_{i}(., θ, ξ) par rapport à une mesure ℳ sur ℝ^{k}, cette

densité est non nulle sur une partie U de ℝ^{k} indépendante des paramètres inconnus θ et ξ.

·f_{i}(., θ, ξ) est définie sur U par

∀u ∈ U f_{i}(u, θ, ξ) = exp{α(ξ)[γ_{i}u − μ(γ_{i}) − η_{i}(u)] + ψ(u, ξ)} (II.3)

avec

·ξ est inconnu ξ ∈ Ξ α(ξ) est strictement positif ·θ est inconnu θ ∈ Θ ⊂ ℝ^{m} et Θ est ouvert. ·t_{i} est une application linéaire connue de ℝ^{m} dans ℝ^{r} ·ϕ est une application connue de ℝ^{r} dans ℝ^{k⋆} où ℝ^{k⋆} désigne le dual de ℝ^{k} ·μ est une application connue de ℝ^{k⋆} dans ℝ ·ψ est une application connue de ℝ × Ξ dans ℝ ·η_{i} est une application connue de ℝ^{k} dans ℝ · < ., . > désigne la dualité entre ℝ^{k} et ℝ^{k⋆} c’est-à-dire que < u, ϕ(tiθ) >

est l’image de l’élément u de U par la forme linéaire ϕ(tiθ)

ainsi nous avons

θ ∈ Θ ⊂ ℝ^{m} ⟶^{t_{i}} β_{i} : t_{i}θ ∈ ℝ^{r} ⟶^{ϕ} γ_{i} = ϕ(t_{i}θ) ∈ ℝ^{k⋆} ⟶^{μ} μ(γ_{i}) ∈ ℝ.

On dispose de la structure statistique

⊗^{n}_{i=1}{ℝ^{k}, ℬ_{ℝ^{k}} , f_{i}(., θ, ξ), θ ∈ Θ, ξ ∈ Ξ}  (II.4)

Cette structure a été étudiée par J.R. Mathieu (1978. 1981). On peut y trouver des exemples.

Le but de notre travail est d’étudier, dans cette structure statistique, des tests d’hypothèses restreintes sur le paramètre θ semblables aux tests que l’on a présentés dans le chapitre I dans le cadre de la normalité.

Dans le chapitre I on a vu que les tests se faisaient sur le paramètre représentant la moyenne. On a vu aussi dans le cadre du modèle linéaire généralisé unidimensionnel que la moyenne ne dépendait que du paramètre θ il en est de même pour le G.L.I.M. multidimensionnel, cela justifie le fait que l’on s’intéresse aux tests sur θ.

Dans la structure (2.4) on calcule le logarithme de la vraisemblance et on obtient

L_{n}(ω, θ, ξ) = α(ξ)∑_{ℓ=1}^{n}[< ω_{i}, ϕ(t_{i}, θ) > −μ(γ_{i}) − η_{i}(ω_{i})] + ∑_{ℓ=1}^{n}ψ(ω_{i}, ξ). (II.5)

Afin de mener à bien l’étude voulue nous donnons des rappels de résultats concernant le G.L.I.M.

II.3 - Notations - Hypothèses

II.3.1

- Afin d’étudier la "puissance" asymptotique des tests, on considère la suite {θ_{n}}_{n∈ℕ} de valeurs du paramètre θ définie par :

θ_{n} = θ̄ + \frac{h_{n}}{\sqrt{n}}  (II.6)
où h_{n} → h

On note P_{n} et P_{n′} les mesures de probabilités de densités respectives

∏_{i=1}^{n}f_{i}(., θ̄, ξ) et ∏_{i=1}^{n}f_{i}(., θ_{n}, ξ)

Pour établir les propriétés asymptotiques des estimateurs du maximum de vraisemblance on utilise un développement de Taylor de L_{n}(., θ, ξ) dans un voisinage de θ̄, on suppose donc l’existence des dérivées de L_{n}(., θ, ξ) par rapport à θ jusqu’à l’ordre 3. On les note L′_{n}(., θ, ξ), L′′_{n}(., θ, ξ), L′′′_{n}(., θ, ξ). De plus on leur impose d’être, dans un voisinage de θ, suffisamment petites en norme.

D’autre part on impose à la densité f_{i}. des conditions telles que l’on puisse déduire du théorème de Liapounov la convergence en loi de \frac{L′_{n}(.,θ̄,ξ)}{\sqrt{n}} vers une variable aléatoire gaussienne dont la matrice des variances et covariances sera la limite en probabilité de −\frac{L′′_{n}(.,θ̄,ξ)}{n} ; on impose donc à cette limite d’être une forme quadratique positive et non dégénérée.

II.3.2 Expressions de L′_{n}(., θ, ξ), L′′_{n}(., θ, ξ), L′′′_{n}(., θ, ξ)

Pour simplifier l’écriture on posera

\{ \begin{matrix}ϕ_{i} = ϕ ∘ t_{i} \\ μ_{i} = μ ∘ ϕ_{i} = μ ∘ ϕ ∘ t_{i} \end{matrix}  (II.7)

ϕ_{i} et μ_{i} sont des applications de ℝ^{m} dans respectivement ℝ^{k⋆} et ℝ Ainsi nous avons

L′_{n}(ω, θ, ξ) = α(ξ)∑_{i=1}^{n}[< ϕ′_{i}(θ), ω_{i} > −μ′_{i}(θ)]

on peut écrire μ′_{i}(θ) = μ′(γ_{i}) ∘ ϕ′_{i}(θ) =< μ′(γ_{i}), ϕ′_{i}(θ) >=< ϕ′_{i}(θ), μ′(γ_{i}) > et donc

L′_{n}(ω, θ, ξ) = α(ξ)∑_{i=1}^{n} < ϕ′_{i}(θ), ω_{i} − μ′(γ_{i}) >  (II.8)

où ϕ′_{i}(θ) est considéré comme un élément de ℒ (ℝ^{m}, ℝ^{k⋆}) μ′(γ_{i}) comme un élément de ℒ (ℝ^{k⋆}, ℝ) on identifie ℒ (ℝ^{k⋆}, ℝ) avec ℝ^{k} L′_{n}(ω, θ, ξ) est donc considéré comme un élément de ℝ^{m⋆} .

∀z ∈ ℝ^{m} [L′_{n}(ω, θ, ξ)](z) = α(ξ)∑_{i=1}^{n} < [ϕ′_{i}(θ)](z), ω_{i} − μ′(γ_{i}) > .

De même on a

L′′_{n}(ω, θ, ξ) = α(ξ)[∑_{i=1}^{n} < ϕ′′_{i}(θ), ω_{i} − μ′(γ_{i}) > −∑_{i=1}^{n} < μ′′(γ_{i}) ∘ ϕ′_{i}(θ), ϕ′_{i}(θ) >]

Avec μ′′(γ_{i}) ∈ ℒ^{2}(ℝ^{k⋆}, ℝ) on identifie ℒ^{2}(ℝ^{k⋆}, ℝ) avec ℒ (ℝ^{k⋆}, ℝ^{k}) ϕ′′_{i}(θ) ∈ ℒ^{2}(ℝ^{m}, ℝ^{k⋆}) donc L′′_{n}(ω, θ, ξ) ∈ ℒ^{2}(ℝ^{m}, ℝ) ∀(z_{1}, z_{2}) ∈ ℝ^{m} × ℝ^{m} on a L′′_{n}(ω, θ, ξ)(z_{1}, z_{2}) =

α(ξ)∑_{i=1}^{n}[< [ϕ′′_{i}(θ)](z_{1}, z_{2}), ω_{i} − μ′(γ_{i}) > −[μ′′(γ_{i})]([ϕ′_{i}(θ)](z_{1}), [ϕ′_{i}(θ)](z_{2}))]

dans la suite on pose < μ′′(γ_{i}) ∘ ϕ′_{i}(θ), ϕ′_{i}(θ) >= Γ_{i}(θ)

où Γ_{i}(θ) ∈ ℒ^{2}(ℝ^{m}, ℝ)

on a alors :

L′′_{n}(ω, θ, ξ) = α(ξ)∑_{i=1}^{n}[< ϕ′′_{i}(θ), ω_{i} − μ′(γ_{i}) > −Γ_{i}(θ)]  (II.9)

On a également L′′′_{n}(ω, θ, ξ) =

α(ξ)∑_{i=1}^{n}[< ϕ′′′_{i}(θ), ω_{i} − μ′(γ_{i}) > − < ϕ′′_{i}(θ), μ′′(γ_{i}) ∘ ϕ′_{i}(θ) > −Γ′_{i}(θ)]

\begin{matrix}avec ϕ′′′_{i}(θ) ∈ ℒ^{3}(ℝ^{m}, ℝ^{k⋆}) \\ Γ′_{i}(θ) ∈ ℒ^{3}(ℝ^{m}, ℝ) \end{matrix} \} ⇒ L′′′_{n}(ω, θ, ξ) ∈ ℒ^{3}(ℝ^{m}, ℝ)

on pose Π_{i}(θ) = Γ′_{i}(θ)+ < ϕ′′_{i}(θ), μ′′(γ_{i}) ∘ ϕ′_{i}(θ) > on a donc

L′′′_{n}(ω, θ, ξ) = α(ξ)∑_{i=1}^{n}[< ϕ′′′_{i}(θ), ω_{i} − μ′(γ_{i}) > −Π_{i}(θ)]  (II.10)

En vue de simplifier les écritures on note μ′_{i}(ϕ_{i}(θ)) = μ̄′_{i} ϕ′_{i}(θ̄) = ϕ̄′_{i} ainsi de suite. On note aussi L_{n}(., θ̄, ξ) = L̄_{n} L′_{n}(., θ̄, ξ) = L̄′_{n} ainsi de suite.

II.3.3 Hypothèse sur la moyenne de Ω_{i}

Conformément à ce que l’on a pour le modèle linéaire généralisé unidimensionnel on suppose que :

∀θ, ξ ∈ Θ × Ξ on a E_{θ,ξ}(Ω_{i}) = μ′(γ_{i}) = μ′(ϕ(t_{i}θ)) ainsi θ est le seul paramètre qui intervient dans l’expression de la moyenne

de Ω_{i}.

II.3.4 Définition d’un Produit scalaire sur ℝ^{m} et ℝ^{m⋆}

On suppose que pour tout θ appartenant à Θ la forme bilinéaire symétrique

et définie positive ∑_{i=1}^{n} \frac{Γ_{i}(θ)}{n} admet une limite notée Γ(θ), Γ(θ) est elle même

alors une forme bilinéaire et symétrique.

On suppose également que Γ(θ) est définie positive. On suppose que Γ est une application continue de Θ dans ℒ^{2}(ℝ^{m}, ℝ).

θ étant un élément donné de ℝ^{m} on munit ℝ^{m} du produit scalaire noté < ., >_{θ} lequel est défini par

∀θ_{1}, θ_{2} ∈ ℝ^{m} < θ_{1}, θ_{2} >_{θ}= [Γ(θ)](θ_{1}, θ_{2}). On note également Γ(θ) la bijection de ℝ^{m} sur son dual ℝ^{m⋆} définie par θ_{1}^{⋆} = [Γ(θ)](θ_{1}) ⇔ ∀θ′ ∈ ℝ^{m} θ_{1}^{⋆}(θ′) =< θ_{1}, θ′ >_{θ} On peut aussi munir ℝ^{m⋆} d’un produit scalaire que l’on note aussi < ., >_{θ}

et défini par ∀θ_{1}^{⋆}, θ_{2}^{⋆} ∈ ℝ^{m⋆} < θ_{1}^{⋆}, θ_{2}^{⋆} >_{θ}=< [Γ(θ)]^{−1}(θ_{1}^{⋆}), [Γ(θ)]^{−1}(θ_{2}^{⋆}) >_{θ} .

Γ(θ) est ainsi une isométrie de ℝ^{m} sur ℝ^{m⋆} Dans la suite on utilise surtout Γ au point θ̄ aussi pour simplifier l’écriture

on note Γ(θ̄) par Γ̄ Γ_{i}(θ̄) par Γ̄_{i} <, >θ̄ par <, >

de même < θ, θ >θ̄= ||θ||2 ; θ̄ par ||θ||^{2}

II.3.5 Conditions de régularité sur les dérivées de L_{n}(., θ, ξ)

Si B(θ̄, ρ) est définie de la manière suivante B(θ̄, ρ) = {θ, ||θ − θ̄|| ≤ ρ}

On suppose que pour tout nombre ρ positif les applications ϕ′_{i}, μ′_{i}, ϕ′′_{i}, μ′′_{i}, ϕ′′′_{i}, Π_{i} sont bornées sur B(θ̄, ρ)

II.3.6 Condition concernant Ω_{i} − μ′_{i}

On suppose qu’il existe un nombre strictement positif δ ainsi qu’un voisinage de θ̄ que l’on appellera V (θ̄) tels que :

Sup_{i∈ℕ,θ∈V (θ̄)} E_{θ,ξ}[||Ω_{i} − μ′_{i}||^{2+δ}] < d < +∞

II.4 Estimateurs de θ

Dans le modèle linéaire généralisé la détermination de l’estimateur du maximum de vraisemblance pouvant poser quelques difficultés pratiques on considère la classe d’estimateurs θ̂_{n} satisfaisant

\{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{n}}L′_{n}(., θ̂_{n}) → 0 en P_{n} Probabilité \\ ℒ (\sqrt{n}(θ̂_{n} − θ̄)/P_{n}) a une limite \end{matrix}  (II.11)

Pour montrer que cette classe est non vide on montre qu’il existe une solution des équations de vraisemblance satisfaisant la seconde condition, pour cela on peut étudier la limite en loi de L′_{n} à la fois pour la valeur θ̄ et pour la valeur θ_{n} (on rappelle θ_{n} = θ̄ + \frac{h_{n}}{\sqrt{n}}) du paramètre θ, la seconde se déduisant de la première une fois montrée la contiguïté des suites {P_{n}} et {P′_{n}}.

II.4.1 Limite de ℒ (\frac{L̄′_{n}}{\sqrt{n}}/P_{n})

\underline{Proposition II.1} : Sous les conditions II.3

ℒ (\frac{L̄′_{n}}{\sqrt{n}}/P_{n}) → N(0, α(ξ)Γ̄) Loi normale de moyenne nulle de matrice de variances et covariances α(ξ)Γ̄.

II.4.2 Contiguïté de {P_{n}} et {P′_{n}}

\underline{Définition} : Soit (Ω,�_{n}) une suite d’espaces probalisables \{P_{n}\} et \{P′_{n}\} étant deux suites de mesures de probabilités sur (Ω,�_{n}) ; ces deux suites sont dites contiguës si pour toute suite {T_{n}} de variables aléatoires définie sur (Ω, 𝒜_{n}) les deux propriétés sont équivalentes.

·T_{n} converge vers 0 en P_{n} probabilité ·T_{n} converge vers 0 en P′_{n} probabilité

\underline{Proposition II.2} : Sous les conditions II.3 Les deux suites {P_{n}} et {P′_{n}} sont contiguës. En conséquence si une suite de variables aléatoires T_{n} converge vers 0 en

P_{n}-probabilité ou en {P′_{n}}-probabilité on dira simplement que T_{n} converge en probabilité vers 0 et on notera T_{n} ⟶^{P} 0.

\underline{Remarque} : Si \{P_{n}\} et \{P′_{n}\} sont contiguës, T_{n} converge vers une constante a en P_{n}-probabilité est équivalent à T_{n} converge vers a en {P′_{n}}-probabilité ; en effet T_{n} ⟶^{P} a est équivalent à T_{n} − a ⟶^{P} 0.

Pour une étude de la contiguïté on se référera à Roussas (1972).

II.4.3 Limite de ℒ (\frac{L̄′_{n}}{\sqrt{n}}/P′_{n})

\underline{Proposition II.3} : Sous les conditions II.3

ℒ (\frac{L̄′_{n}}{\sqrt{n}}/P′_{n}) → N(α(ξ)Γ̄(h), α(ξ)Γ̄)

II.4.4 Comportement asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance

\underline{Proposition II.4} : Il existe une solution unique de l’équation

L′_{n}(., θ, ξ) = 0  (II.12)

qui converge vers θ̄ en probabilité ; on la note θ̂_{n}.

On note Γ_{n} = Γ(θ̂_{n})

on a Γ_{n} ⟶^{P} Γ̄

En effet θ̂_{n} ⟶^{P} θ et l’application Γ est continue de Θ dans ℒ^{2}(ℝ^{m}, ℝ). \underline{Proposition II.5} : Sous les conditions II.3 et si θ̂_{n} est la solution convergente

de (2.12), on a les résultats suivants.

ℒ (\sqrt{n}(θ̂_{n} − θ̄)/P_{n}) → N(0, \frac{1}{α(ξ)} Γ̄^{−1}) et

ℒ (\sqrt{n}(θ̂_{n} − θ̄)/P′_{n}) → N(h, \frac{1}{α(ξ)} Γ̄^{−1})

II.5 Structure gaussienne tangente

θ̂_{n} désignant une statistique quelconque satisfaisant la condition (II) on peut montrer que θ̂_{n} est très voisin de l’estimateur de θ dans une structure gaussienne tangente.

Soit Y_{i} la variable aléatoire à valeur dans ℝ^{m} définie de la manière suivante :

Y_{i}(ω_{i}) = Γ̄^{−1} < ϕ̄′_{i}, ω_{i} − μ̄′_{i} > +θ̄  (II.13)

\begin{matrix}où ϕ̄′_{i} ∈ ℒ (ℝ^{m}, ℝ^{k}) \\ ω_{i} − μ̄′_{i} ∈ ℝ^{k} \end{matrix} \} ⇒< ϕ′_{i}, ω_{i} − μ′_{i} > ∈ ℝ^{m⋆}

et posons

θ̃_{n} = ∑_{i=1}^{n} \frac{Y_{i}}{n}  (II.14)

\underline{Proposition II.6} : Sous les conditions II.3

\sqrt{n}(θ̂_{n} − θ̃_{n}) ⟶^{P} 0

et ℒ (\sqrt{n}(θ̃_{n} − θ̄)/P′_{n}) → N(h, \frac{1}{α(ξ)} Γ̄^{−1})

On peut interpréter ce résultat de la manière suivante : Si Y_{i} était une variable aléatoire suivant une loi N(h, \frac{1}{α(ξ)} Γ̄^{−1}) , on dispose-

rait d’un échantillon y = (y_{1}, y_{2}, ...y_{n}) avec y_{i} = Y_{1}(ω_{i}) de telle façon que l’on peut se placer dans la structure statistique suivante :

\{ℝ^{m}, ℬ_{ℝ^{m}} , N_{m}[θ, \frac{1}{α(ξ)}Γ̄^{−1}] θ ∈ ℝ^{m}, α(ξ) ∈ ℝ_{+}^{⋆}\}^{n}  (II.15)

Le logarithme de la vraisemblance serait alors :

L̃_{n}(y, θ, ξ) = Cte − \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n}α(ξ)Γ̄(y_{i} − θ, y_{i} − θ)

l’estimateur du maximum de vraisemblance serait alors :

∑_{i=1}^{n} \frac{Y_{i}}{n} = θ̃_{n}

La proposition II.6 justifie a posteriori l’appellation de structure gaussienne tangente.

Pour plus de précisions sur la notion de structure gaussienne tangente on renvoie le lecteur a Lecam (1969), Roussas (1972), Mathieu (1978) Les démonstrations des propositions II.1, II.2, II.3, II.4 II.5, II.6 peuvent être trouvées dans Mathieu (1978, 1981).

La plupart de ces résultats ont été démontrés aussi, dans un cadre légèrement différent, dans Philippou et Roussas (1973, 1975).

Chapitre III

TESTS DU χ̄^{2} DANS LE MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRALISÉ

III.1 Introduction

Soit la structure statistique précédemment considérée

⊗^{n}_{i=1}{ℝ^{k}, ℬ_{ℝ^{k}} , f_{i}(., θ, ξ) θ ∈ Θ ξ ∈ Ξ}

où

f_{i}(u, θ, ξ) a la forme donnée au chapitre II(4)

Soient les hypothèses

H_{0} : θ = 0 ⇔ θ_{i} = 0 ∀i = 1, ..., m
H : θ_{i} ≥ 0 ∀i = 1, ..., m
H_{1} : H \ H_{0}

On s’intéresse dans ce chapitre au test de l’hypothèse H_{0} contre l’hypothèse H_{1}.

C’est par abus de langage que l’on dit test de H_{0} contre H_{1}, car il s’agit en fait de H_{0} × Ξ contre H_{1} × Ξ ; c’est-à-dire qu’aucune des hypothèses évoquées n’impose de contrainte à ξ, ξ joue le rôle de paramètre fantôme. C’est donc aussi par abus de langage que l’on dira que l’hypothèse H_{0} est simple. Ce travail peut être considéré comme une généralisation de ce qui a été fait au chapitre I au cas où les lois ne sont pas normales. En 1978 Robertson et Wegman ont présenté une extension des tests d’hypothèses d’isotonie dans le cas où l’on a affaire à la famille exponentielle. Notre travail découle de la même idée de généralisation, seulement nous nous plaçons dans le cadre du modèle linéaire généralisé multidimensionnel et au lieu de considérer les hypothèses d’isotonie on considère les mêmes hypothèses que Kudô (1963) Kudô et Fujisawa (1965) Kudô et Choï (1975). De manière évidente, dans le modèle linéaire généralisé, de nombreux types d’hypothèses, imposent des contraintes d’inégalités aux composantes du paramètre θ, peuvent se ramener, par un simple changement de variables, aux hypothèses que l’on considère ; en effet θ intervient toujours dans le modèle sous la formé t_{i}θ , où les t_{i} sont des applications linéaires connues, donc pour changer la forme des hypothèses il suffit de changer de t_{i}.

On s’intéressera aussi dans ce chapitre au test de l’hypothèse H contre l’hypothèse ℝ^{m}\H.

L’idée du travail est classique, en statistique asymptotique, il s’agit d’obtenir des statistiques de test de H_{0} contre H_{1} dont la distribution asymptotique se déduira de la normalité asymptotique de certains estimateurs. Dans ce qui nous intéresse on cherche des statistiques dont les distributions asymptotiques seront des lois de χ̄^{2}. Robertson et Wegman (1978) ont montré que le test du rapport de vraisemblance des hypothèses d’isotonie dans une famille exponentielle était fait à partir d’une distribution asymptotique de χ̄^{2} correspondant à un ordre et à des poids déterminés. Par analogie la loi de χ̄^{2} que nous obtenons dépend d’une matrice à déterminer.

III.2 Estimation de θ sous contrainte d’appartenance à un cône polyédrique convexe

Afin de pouvoir établir la statistique du test du rapport de vraisemblance de l’hypothèse H_{0} contre l’hypothèse H_{1} Il est indispensable de disposer d’une estimation de θ sous la contrainte H. H étant un cône convexe polyédrique, La solution des équations de vraisemblance sous la contrainte H peut s’avérer très délicate et on peut dans certains cas être amené à ne connaître que des valeurs approchées de l’estimateur du maximum de vraisemblance ; on se demande donc si la projection de θ̂_{n}(ω) sur H, où θ̂_{n} est l’un quelconque des estimateurs de satisfaisant la condition II(11) ne constitue pas une approximation satisfaisante de l’estimateur recherché permettant de construire un test de H_{0} contre H_{1} ayant les mêmes propriétés asymptotiques que le test du rapport de vraisemblance.

L’hypothèse nulle étant simple, dans ce chapitre, on considère θ̄ = 0. θ̂_{n} étant une statistique satisfaisant II(11) on note θ̂_{H,n} la projection de θ̂_{n} sur H au sens du produit scalaire défini par Γ̄. De même que pour l’estimateur θ̂_{n} on veut montrer que θ̂_{H,n} est proche d’une statistique que l’on peut définir dans la structure gaussienne tangente ; on introduit donc l’estimateur θ̂_{H,n} de θ sous la contrainte H dans la structure II(15). θ̃_{H,n} est la projection de θ̃_{n} sur H au sens du produit scalaire défini par Γ̄. On voit donc ici aussi qu’il est nécessaire de posséder une méthode de projection sur un cône convexe polyédrique.

\underline{Proposition III.1} : Sous les conditions II.3

\sqrt{n}(θ̃_{H,n} − θ̂_{H,n}) ⟶^{P} 0

Démonstration

Cela est dû au fait que l’on ait, d’après la proposition II.6,

\sqrt{n}(θ̂_{n} − θ̃_{n}) ⟶^{P} 0 et au fait que la projection sur un convexe fermé est une application contractante i.e. ||θ̂_{H,n} − θ̃_{H,n}|| ≤ ||θ̂_{n} − θ̃_{n}||.

Si nous avons pu jusqu’à présent négliger le paramètre ξ, afin de construire des statistiques de test on est contraint de posséder une estimation de α(ξ) on fait la supposition suivante

III.3 Conditions sur ξ

Il existe un estimateur convergent de ξ, on note cet estimateur ξ̂, de plus on suppose que la fonction α de Ξ dans ℝ est continue et qu’il en est de même pour la fonction ψ(u, .).

Ainsi on dispose de α(ξ̂) estimateur convergent de α(ξ). La connaissance d’un estimateur convergent de α(ξ) est souvent assurée par

le fait que α(ξ) est connu, cette condition est satisfaite aussi dans le cas gaussien avec σ^{2} inconnu.

On pose TH̃_{0,1} = nα(ξ)||θ̃_{H,n}||^{2}

III.4 Distribution asymptotique de TH̃_{0,1}

On utilise le lemme suivant que l’on trouvera dans Billingsley (1968) par exemple

\underline{Lemme} : X_{n} ⟶^{ℒ} X X_{n} et X sont des variables aléatoires à valeur dans un espace topologique sur cet espace h ∘ X_{n} = h(X_{n}) et h ∘ X = h(X) sont des variables aléatoires et h(X_{n}) ⟶^{ℒ} h(X).

\underline{Proposition III.2} - Si X_{n} → N_{m}(0, Σ)

Si X_{H,n} projection de X_{n} sur H (le quadrant positif de ℝ^{m}) au sens du produit scalaire Γ^{−1} alors ||X_{H,n}||_{Σ^{−1}}^{2} → χ̄_{Σ}^{2} de même si X_{n} → N_{m}(h, Σ) alors ||X_{H,n}||_{Σ^{−1}}^{2} → χ̄_{Σ,h}^{2} (loi de χ̄^{2} décentrée)

Cela découle immédiatement du lemme, de la proposition I.5 et de la définition des lois de χ̄^{2} décentrées.

III.4.1 Distribution de TH̃_{0,1} sous P_{n}

On sait que ℒ (\sqrt{n} θ̃_{n}/P_{n}) → N(0, \frac{1}{α(ξ)} Γ̄^{−1}) d’après la proposition III.2 et comme θ̃_{H,n} est la projection de θ̃_{n} sur H on a

ℒ (n α(ξ) Γ̄(θ̃_{H,n}, θ̃_{H,n})/P_{n}) → χ̄2 ; Γ̄^{−1}.

autrement dit :

ℒ (TH̃_{0,1} / P_{n}) → χ̄2 ; Γ̄^{−1} .

III.4.2 Distribution de TH̃_{0,1} sous P′_{n}

On a ℒ (\sqrt{n} θ̃_{n}/P′_{n}) → N(h, \frac{1}{α(ξ)} Γ̄^{−1}) d’après la proposition III.2 on a donc

ℒ (n α(ξ) Γ̄(θ̃_{H,n}, θ̃_{H,n})/P′_{n}) → χ̄_{Γ̄^{−1},h}^{2}

soit

ℒ (TH̃_{0,1} / P′_{n}) → χ̄_{Γ̄^{−1},h}^{2}

χ̄_{Γ̄^{−1},h}^{2} désigne la loi de χ̄^{2} décentrée dépendant de la matrice Γ^{−1} et du paramètre de décentrage h.

III.5 Un test de H_{0} contre H_{1}

Pour faire le test de H_{0} contre H_{1} on peut procéder de la façon suivante : On définit la statistique T_{1,H_{0,1}} par :

T_{1,H_{0,1}} = n α(ξ) ||θ̂_{H,n}||^{2}

et on définit un test de la manière suivante rejet de H_{0} pour T_{1,H_{0,1}} ≥ ℓ

Soit ϕ_{1,H_{0,1}} = 𝟙_{{T_{1,H_{0,1}} ≥ℓ}}

\underline{Proposition III.3} : Sous les conditions II.3 et III.3 on a le résultat suivant.

T_{1,H_{0,1}} − TH̃_{0,1} ⟶^{P} 0 .

\underline{Démonstration} : D’après la condition III.3 ξ̂ ⟶^{P} ξ

α(ξ̂) ⟶^{P} α(ξ)

d’après la proposition III.1 on a

\sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ̃_{H,n}) ⟶^{P} 0

T_{1,H_{0,1}} − TH̃_{0,1} = nα(ξ̂)||θ̂_{H,n}||^{2} − nα(ξ)||θ̃_{H,n}||^{2} = nα(ξ̂)(||θ̂_{H,n}||^{2} − ||θ̃_{H,n}||^{2}) + n||θ̃_{H,n}||^{2}(α(ξ̂) − α(ξ)) \sqrt{n} θ̃_{n} a une limite en loi d’où \sqrt{n} θ̃_{H,_{n}} a une limite en loi donc n||θ̃_{H,_{n}}||^{2} a une limite en loi

donc n||θ̃_{H,_{n}}||^{2}(α(ξ̂) − α(ξ)) ⟶^{P} 0

on a aussi n(||θ̂_{H,n}||^{2} − ||θ̃_{H,n}||^{2}) ⟶^{P} 0

d’où le résultat. \underline{Remarques} Pour faire un test de niveau asymptotique α, on utilisera le fait que sous H_{0},

T_{H_{0,1}} tend vers une loi de χ̄2 ; Γ̄^{−1} la valeur l_{α} pour laquelle on rejettera H_{0} sera définie à partir de cette loi. De même pour calculer la "puissance" asymptotique on utilisera la loi χ̄_{Γ̄^{−1},h}^{2}

Il est important de noter que la loi χ̄2 ; Γ̄^{−1} dépend de la vraie valeur du paramètre θ, comme l’hypothèse H_{0} est "simple" (à ξ près) il n’y a pas de problème.

III.6 Test du rapport de vraisemblance de H_{0} contre

H_{1}.

On définit la statistique T_{2,H_{0,1}} de la manière suivante : T_{2,H_{0,1}} = 2[L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H_{0},n}, ξ̂)]

= 2[L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂) − L_{n}(., 0, ξ̂)] et on définit le test du rapport de vraisemblance par

rejet de H_{0} pour T_{2,H_{0,1}} ≥ ℓ

Soit ϕ_{2,H_{0,1}} = 𝟙_{{T_{2,H_{0,1}} ≥ℓ}}

\underline{Proposition III.4} : Sous les conditions II.3 et III.3

T_{2,H_{0,1}} − TH̃_{0,1} ⟶^{P} 0 .

\underline{Démonstration} : T_{2,H_{0,1}} = 2[L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H_{0},n}, ξ̂)]

= 2[L_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H_{0},n}, ξ̂)]

− 2[L_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂)]

de même TH̃_{0,1} = nα(ξ)||θ̃_{H,n}||^{2} = nα(ξ)(||θ̃_{n}||^{2} − ||θ̃_{n} − θ̃_{H,n}||^{2})

T_{2,H_{0,1}} − TH̃_{0,1} = 2[L_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H_{0},n}, ξ̂)] − nα(ξ)||θ̃_{n}||^{2}

− 2[L_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂)] + nα(ξ)||θ̃_{n} − θ̃_{H,n}||^{2} Dans Mathieu (1981) proposition 9 il est montré que

2[L_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H_{0},n}, ξ̂)] − nα(ξ)||θ̃_{n}||^{2} ⟶^{P} 0

On doit montrer que

2[L_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂)] − nα(ξ)||θ̃_{n} − θ̃_{H,n}||^{2} ⟶^{P} 0

L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) − [L′_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂)](θ̂_{H,n} − θ̂_{n})

− \frac{1}{2}[L′′_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂)](θ̂_{H,n} − θ̂_{n}, θ̂_{H,n} − θ̂_{n}) ⟶^{P} 0

\frac{1}{\sqrt{n}} L′_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) ⟶^{P} 0

\sqrt{n} θ̂_{n} a une limite en loi.

\sqrt{n}(θ̂_{n} − θ̂_{H,n}) est la projection de θ̂_{n} sur le cône polaire de H d’où \sqrt{n}(θ̂_{n} − θ̂_{H,n}) a une limite en loi

d’où \frac{1}{\sqrt{n}}L′_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂)(\sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ̂_{n})) ⟶^{P} 0

||\frac{1}{n}L′′_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) − Γ̄|| ⟶^{P} 0

donc 2[L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂)] + nα(ξ̂)||θ̂_{H,n} − θ̂_{n}||^{2} ⟶^{P} 0

on a nα(ξ̂)||θ̂_{H,n} − θ̂_{n}||^{2} − nα(ξ)||θ̃_{H,n} − θ̃_{n}||^{2} ⟶^{P} 0

d’où le résultat.

\underline{Remarque} : La démonstration du fait que

2[L_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂)] − nα(ξ̂)||θ̂_{n} − θ̂_{H,n}||^{2} ⟶^{P} 0

est analogue à la démonstration de la proposition 9 de Mathieu (1981) on utilise en effet le fait que \sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ̂_{n}) ait une limite en loi dans Mathieu H désigne un sous-espace de ℝ^{m} dans notre cas H désigne un cône convexe polyédrique cela n’ajoute aucune difficulté.

\underline{Remarque} : On aurait pu s’intéresser au test de H_{0} contre H_{1} dans le cas où H_{0} : θ = θ̄ ⇔ θ_{i} = θ̄_{i} ∀i = 1, ...n

H : θ_{i} ≥ θ̄_{i} ∀i = 1, ...n
H_{1} : H \ H_{0}

dans ce cas les résultats sont quasiment identiques, il suffit de considérer TH̃_{0,1} = nα(ξ)||θ̃_{H,n} − θ̄||^{2}

T_{1,H_{0,1}} = nα(ξ)||θ̂_{H,n} − θ̄||^{2}
T_{2,H_{0,1}} = 2[L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̄, ξ̂)]

\underline{Remarque} : Les deux tests ϕ_{1,H_{0,1}} et ϕ_{2,H_{0,1}} sont asymptotiquement équivalents, c’est à dire que l’événement {|ϕ_{1,H_{0,1}} −ϕ_{2,H_{0,1}}| ≠ 0} est asymptotiquement de probabilité nulle pour P_{n} et P′_{n}.

En effet, soit ϵ > 0 ϕ_{1,H_{0,1}} = 𝟙_{{T_{1,H_{0,1}} ≥ℓ}} ϕ_{2,H_{0,1}} = 𝟙_{{T_{2,H_{0,1}} ≥ℓ}} |ϕ_{1,H_{0,1}} − ϕ_{2,H_{0,1}}| ≤ 𝟙_{|T_{1,H_{0,1}} −T_{2,H_{0,1}} |≥ϵ} + 𝟙_{ℓ<T_{1,H_{0,1}} <ℓ+ϵ} + 𝟙_{ℓ<T_{2,H_{0,1}} <ℓ+ϵ} Soit γ > 0 si n est suffisamment grand et ϵ suffisamment petit.

comme T_{1,H_{0,1}} − TH̃_{0,1} ⟶^{P} 0

T_{2,H_{0,1}} − TH̃_{0,1} ⟶^{P} 0

on a T_{1,H_{0,1}} − T_{2,H_{0,1}} ⟶^{P} 0

et P_{n}(|T_{1,H_{0,1}} − T_{2,H_{0,1}}| ≥ ϵ) < \frac{γ}{3}

on a P_{n}(ℓ < T_{1,H_{0,1}} < ℓ + ϵ) < \frac{γ}{3}

P_{n}(ℓ < T_{2,H_{0,1}} < ℓ + ϵ) < \frac{γ}{3}

d’où 𝔼[|ϕ_{1,H_{0,1}} − ϕ_{2,H_{0,1}}|] < γ

c’est-à-dire

P_{n}[ |ϕ_{1,H_{0,1}} − ϕ_{2,H_{0,1}}| ≠ 0] < γ

d’où le résultat.

III.7 Tests de H contre ℝ^{m}\H

On peut, comme on l’a fait dans le cas des lois normales au chapitre I paragraphe 5 s’intéresser au test de l’hypothèse H

H : θ_{i} ≥ 0 ∀i = 1, ..., m

contre l’hypothèse ℝ^{m}\H. On pose donc

TH̃ = nα(ξ)||θ̃_{n} − θ̃_{H,n}||^{2}.

On va comme dans le cas des tests de H_{0} contre H_{1} construire des statistiques de tests dont les distributions asymptotiques seront égales à celle de TH̃ On a donc besoin de connaître la distribution asymptotique de TH̃.

On établit un résultat qui va nous permettre de calculer la distribution asymptotique de TH̃ \underline{Proposition III.5} : Si X_{n} → N_{m}(0, Σ)

X_{H,n} projection de X_{n} sur H au sens du produit scalaire induit par Σ^{−1} ||X_{n} − X_{H,n}||_{Σ^{−1}}^{2} → χ̄_{(Σ^{0})}^{2} loi de χ̄^{2} définie à la proposition î.8

Cela découle du lemme du paragraphe II.4

\underline{Corollaire} : (TH̃/P_{n}) → χ̄_{(Γ^{−1,0})}^{2}

En effet ℒ (\sqrt{n}θ̃_{n}/P_{n}) → N(0, \frac{1}{α(ξ)} Γ̄^{−1})

θ̃_{H,n} étant la projection de θ̃_{n} sur le cône convexe H d’après la proposition précédente on a ℒ (n α(ξ) Γ̄(θ̃_{n} − θ̃_{H,n}, θ̃_{n} − θ̃_{H,n})/P_{n}) → χ̄_{(Γ̄^{−1,0})}^{2}

Soit θ quelconque θ ∈ H.

On note P_{θ,n} la mesure de probabilité de densité

∏_{i=1}^{n} f_{i}(., θ, ξ).

On ne peut montrer dans le cas général que l’hypothèse H_{0} est la sous hypothèse de H asymptotiquement la plus défavorable dans le sens où le niveau asymptotique des tests, que l’on pourrait construire avec des statistiques équivalentes à TH̃, serait maximal sous H_{0}. C’est-à-dire que l’inégalité

∀c > 0

lim_{n→∞}P_{θ,n}[n α(ξ) ||θ̃_{n} − θ̃_{H,n}||^{2} ≥ c] ≤ lim_{n→∞}P_{n}[n α(ξ) ||θ̃_{n} − θ̃_{H,n}||^{2} ≥ c]

n’est pas nécessairement vérifiée.

Une inégalité équivalente est vérifiée dans le modèle qu’étudient Robertson et Wegman (1978), les lois de χ̄^{2} asymptotiques qu’obtiennent ces auteurs sont moins dépendantes de la vraie valeur du paramètre que dans notre cas. Toutefois si θ n’est pas sur la frontière de H l’inégalité est vérifiée.

Cette inégalité est aussi vérifiée, bien sûr, dans la situation où on étudie le cas normal (voir proposition I.7).

Pour ces raisons et pour des raisons de commodités on étudiera donc le comportement des statistiques de test sous H_{0}.

III.7.1 Un test de H

On considère que la condition III.3 sur ξ est toujours valable et de manière analogue à ce qui a déjà été fait précédemment, on considère la statistique T_{1,H} définie par

T_{1,H} = n α(ξ̂) ||θ̂_{n} − θ̂_{H,n}||^{2}

et on définit le test de H par

rejet de H pour T_{1,H} ≥ ℓ

soit ϕ_{1,H} = 𝟙_{{T_{1,H}≥ℓ}}

\underline{Proposition III.6} : Sous les conditions II.3 et III.3

TH̃ − T_{1,H} ⟶^{P} 0

La démonstration est semblable à la démonstration de la proposition III.3. On utilise le fait que \sqrt{n}(θ̂_{n} − θ̃_{n}) ⟶^{P} 0 et \sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ̃_{H,n}) ⟶^{P} 0

III.7.2 Test du rapport de vraisemblance de H

On définit une statistique de test par

T_{2,H} = 2[L_{n}(., θ̂_{n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂)]

et on définit le test du rapport de vraisemblance par rejet de H pour T_{2,H} ≥ ℓ

soit ϕ_{2,H} = 𝟙_{{T_{2,H}≥ℓ}}

\underline{Proposition III.7} : Sous les conditions II.3 et III.3

T_{2,H} − TH̃ ⟶^{P} 0

pour la démonstration, voir la démonstration de la proposition III.4

III.7.3 Test des multiplicateurs de Lagrange.

On est conduit, pour faire les tests, précédents, à obtenir une estimation de θ sous contrainte d’appartenance à un cône convexe polyédrique.

H étant toujours défini de la même manière on s’intéresse à l’estimateur du maximum de vraisemblance sous la contrainte θ ∈ H.

Soit L_{n}(ω, θ, ξ) le logarithme de vraisemblance. On cherche θ̂_{H,n} tel que L_{n}(ω, θ̂_{H,n}, ξ) = max_{θ∈H} L_{n}(ω, θ, ξ) Si la fonction qui à θ associe L_{n}(ω, θ, ξ) est

concave, c’est-à-dire si la vraisemblance est Log-concave, l’estimateur du maximum de vraisemblance sous la contrainte H sera solution du système suivant :

\{ \begin{matrix}L′_{n}(ω, θ, ξ) − α(ξ)λ(ω) = 0 \\ θ ∈ H \end{matrix}

où λ désigne un multiplicateur de Lagrange λ(ω) ∈ ℝ^{m} et toutes ses composantes sont positives c’est-à-dire que λ(ω) ∈ H

Pour plus de détails sur les multiplicateurs de Lagrange dans le cas d’appartenance à un polyèdre voir Rockafellar (1970). On peut donc se poser la question de savoir s’il est possible de construire un test de H en utilisant ce multiplicateur, car ce multiplicateur est d’autant plus "grand" que l’on est "loin" de l’hypothèse H.

Apparemment on est gêné par le fait que ces multiplicateurs n’existent que dans le cas où le logarithme de la vraisemblance est une fonction concave. Or ceci est le cas lorsque l’on affaire à un structure gaussienne et lorsque la structure n’est pas gaussienne on renonce à avoir des résultats exacts pour obtenir des résultats asymptotiques. De plus même dans le cas de la concavité du logarithme de vraisemblance la détermination simultanée de l’estimateur du maximum de vraisemblance et du multiplicateur de Lagrange peut s’avérer trop difficile, on renonce a les chercher et on considère θ̂_{H,n} défini comme précédemment et on recherche une quantité λ̂_{n} dont la détermination sera aisée et telle que L′_{n}(ω, θ̂_{H,n}, ξ) − α(ξ)λ̂_{n} converge en probabilité vers 0. Dans le cas où le logarithme de la vraisemblance n’est pas concave on peut se demander si la quantité λ̂_{n} définie de la même manière que pour le cas où cette concavité est réalisée, a un sens et si elle a des propriétés asymptotiques intéressantes.

On peut définir λ̃_{n} le multiplicateur de Lagrange dans la structure gaussienne tangente. On peut se demander si λ̂_{n} et λ̃_{n} sont "proches" asymptotiquement.

Dans ℝ^{m} et ℝ^{m⋆} on utilise le produit scalaire induit par Γ̄.

\underline{Définition} : θ̂_{H,n} étant la projection de θ̂_{n} sur H au sens de Γ̄ On définit λ̂_{n} à valeur dans ℝ^{m⋆} par

λ̂_{n} = nΓ̄(θ̂_{H,n} − θ̂_{n})

λ̂_{n} existe et est unique. De plus comme on l’a déjà vu \sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ̂_{n}) a une limite en loi et

(θ̂_{H,n} − θ̂_{n}) ⟶^{P} 0 en utilisant ces résultats et en appliquant exactement la même méthode de démonstration que Mathieu (1978 proposition II.6) on a le résultat suivant :

\underline{Proposition III.8} : Sous les conditions II.3

\frac{1}{\sqrt{n}}[L′_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ) − α(ξ)λ̂_{n}] ⟶^{P} 0

θ̃_{H,n} désignant la projection de θ̃_{n} sur H au sens de Γ̄. On définit λ̃_{n} par

λ̃_{n} = nΓ̄(θ̃_{H,n} − θ̃_{,n})

En utilisant la même démonstration que Mathieu (1978 proposition II.7) (la seule chose qui change dans les démonstrations, c’est la signification de H dans le cas de Mathieu c’est un sous espace dans le nôtre c’est le polyèdre déjà défini). On trouve le résultat suivant :

\underline{Proposition III.9} : Sous les conditions II.3

\frac{1}{\sqrt{n}}||λ̃_{n} − λ̂_{n}|| ⟶^{P} 0

À partir de là on peut maintenant définir les tests des multiplicateurs de Lagrange.

On définit T_{3,H} par

T_{3,H} = \frac{α(ξ̂)}{n} Γ̄^{−1}(λ̂_{n}, λ̂_{n}) = \frac{α(ξ̂)}{n}||λ̂_{n}||^{2}

et on définit un test de H par

rejet de H pour T_{3,H} ≥ ℓ

soit ϕ_{3,H} = 𝟙_{{T_{3,H}≥ℓ}}

On définit aussi la statistique T_{4,H} par

T_{4,H} = \frac{1}{n} Γ̄^{−1}[L′_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂), L′_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂)]
= \frac{1}{n}||L′_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂)||^{2}

et on définit un autre test de H par rejet de H pour T_{4,H} ≥ ℓ

soit ϕ_{4,H} = 𝟙_{{T_{4,H}≥ℓ}}

\underline{Proposition III.10} : Sous les conditions II.3 et III.3

T_{3,H} − TH̃ ⟶^{P} 0

et

T_{4,H} − TH̃ ⟶^{P} 0

\underline{Démonstration} : \frac{1}{n}||λ̂_{n}||^{2} − \frac{1}{n}||λ̃_{n}||^{2} ⟶^{P} 0

\frac{1}{n}||λ̃_{n}||^{2} = n||θ̃_{H,n} − θ̃_{n}||^{2}

α(ξ̂) ⟶^{P} α(ξ)

d’où \frac{α(ξ̂)}{n}||λ̂_{n}||^{2} − nα(ξ)||θ̃_{H,n} − θ̃_{n}||^{2} ⟶^{P} 0

donc T_{3,H} − TH̃ ⟶^{P} 0

comme \frac{1}{\sqrt{n}}[L′_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ) − α(ξ)λ̂_{n}] ⟶^{P} 0

on a aussi

T_{4,H} − nα(ξ)||θ̃_{H,n} − θ̃_{n}||^{2} ⟶^{P} 0

On a donc quatre tests de H, ces quatre tests sont asymptotiquement équivalents dans le sens précédemment défini. Ce résultat se montre de manière analogue à ce qui a déjà été fait pour T_{1,H_{0,1}} et T_{2,H_{0,1}} .

Chapitre IV

UNE EXTENSION DES TESTS DU χ̄^{2} AU CAS OÙ L’HYPOTHÈSE NULLE EST COMPOSÉE DANS LE G.L.I.M.

IV.1 Introduction : étude dans le cas normal

(Voir Barlow et coll. 1972 p. 179-180).

On considère la structure statistique suivante :

(ℝ^{m}, ℬ_{ℝ^{m}} , {N_{m}(μ, Σ), μ ∈ ℝ^{m}})^{n}

Soit g une application linéaire surjective de ℝ^{m} dans ℝ^{q} q < m On considère les hypothèses suivantes : H_{0} : g(μ) = 0 H : g(μ) ≥ 0 c’est-à-dire toutes les composantes de g(μ) sont positives. H_{1} : H \ H_{0}

On veut tester H_{0} contre H_{1} On montre facilement que l’on peut se ramener à la situation suivante : Soit μ ∈ ℝ^{m} on écrit ^{t}μ = (μ_{1}, ..., μ_{m})

= (μ_{1}, ..., μ_{q}, μ_{q+1}, ..., μ_{m})

on note ^{t}μ_{[1]} = (μ_{1}, ..., μ_{q})

et on considère les hypothèses H_{0} : ^{t}μ_{[1]} = 0 ⇔ μ_{i} = 0 ∀i = 1, ..., q H : ^{t}μ_{[1]} ≥ 0 ⇔ μ_{i} ≥ 0 ∀i = 1, ..., q H_{1} : H \ H_{0}

et on s’intéresse au test de H_{0} contre H_{1} il suffit pour cela de changer de matrice de variances et covariances. On se

contentera donc d’étudier cette dernière situation. L’estimateur du maximum de vraisemblance de μ sous contrainte est bien sûr

Ȳ = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}Y_{i} .

La statistique du test du rapport de vraisemblance de H_{0} contre H_{1} est

χ̄^{2} = n||Ȳ_{H} − Ȳ_{H_{0}}||_{Σ^{−1}}^{2} Ȳ_{H} désigne la projection de Ȳ sur H au sens de Σ^{−1} Ȳ_{H_{0}} désigne la projection de Ȳ sur H_{0} au sens de Σ^{−1} tȲ = (Ȳ_{1}, ....Ȳ_{q}, Ȳ_{q+1}, ..., Ȳ_{m}) tȲ_{[1]} = (Ȳ_{1}, ....Ȳ_{q})

on pose Σ^{−1} = ( \begin{matrix}Σ_{11} Σ_{12} \\ Σ_{21} Σ_{22} \end{matrix} )

Σ_{11} matrice q × q
Σ_{12} matrice q × (m − q)
Σ_{21} =^{t} Σ_{12}

Λ_{11} est définie par

Λ_{11} = (Σ_{11} − Σ_{12} Σ_{22}^{−1} Σ_{21})^{−1}

μ_{1}^{⋆} est la quantité qui minimise ^{t}(Ȳ_{[1]} − μ_{1})Λ_{11}^{−1}(Ȳ_{[1]} − μ_{1})

il est montré dans Barlow et coll. (1972) que

χ̄^{2} = n||μ_{1}^{⋆}||_{Λ_{11}^{−1}}^{2}

On en déduit donc que si μ ∈ H_{0} la statistique du test du rapport de vraisemblance suit la loi χ̄_{Λ_{11}}^{2} c’est-à-dire la loi de χ̄^{2} dépendant de la matrice Λ_{11}.

On note ψ(Σ) = (Σ_{11} − Σ_{12} Σ_{22}^{−1} Σ_{21})^{−1} = Λ_{11}

On remarque que si q = m ψ(Σ) = Σ et l’on retrouverait le test de H_{0} : θ = 0 contre H_{1} =H\H_{0} où H : θ_{i} ≥ 0 ∀i = 1, ..., m.

On voit donc que si l’on se situe dans le cas des lois normales il n’y a pas de grosses difficultés supplémentaires. Toutefois pour une étude plus poussée on renvoie le lecteur à Barlow et coll (1972).

IV.2 Étude dans le cadre du modèle linéaire généralisé

L’extension des tests d’hypothèses linéaires composées contre des hypothèses polyédriques dans le cadre du modèle linéaire généralisé pose certaines difficultés spécifiques dues essentiellement au fait que pour l’étude des tests on se place dans une structure gaussienne tangente (voir ce qui a été fait au chapitre III). Lorsque l’hypothèse est simple (en θ) on considère la structure gaussienne tangente en ce point unique et connu, Maintenant l’hypothèse nulle étant composée, on va avoir des problèmes notamment pour connaître les valeurs de rejet des tests car ces valeurs dépendront de la matrice des variances et covariances de la structure gaussienne tangente en la vraie valeur du paramètre laquelle n’est pas connue.

On se place donc dans la structure précédemment envisagée

⊗^{n}_{i=1}{ℝ^{k}, ℬ_{ℝ^{k}} , f_{i}(., θ, ξ) θ ∈ Θ ξ ∈ Ξ}

où f_{i}(u, θ, ξ) a la forme explicitée au chapitre II voir (3) de la même manière que précédemment on s’intéresse au test de l’hypothèse

H_{0} : g(θ) = 0 où g est linéaire surjective de ℝ^{m} dans ℝ^{q} contre l’hypothèse H_{1}

H_{1} : H \ H_{0} où H : g(θ) ≥ 0 c’est-à-dire toutes les composantes positives. On peut montrer aussi que l’on peut se ramener à la situation suivante tθ = (θ_{1}, ..., θ_{q}, θ_{q+1}, ..., θ_{m}) tθ_{[1]} = (θ_{1}, ..., θ_{q}) H_{0} : ^{t}θ_{[1]} = 0 i.e. θ_{i} = 0 ∀i = 1, ...q H : θ_{i} ≥ 0 ∀i = 1, ...q H_{1} : H \ H_{0}

On veut tester H_{0} contre H_{1} En effet il existe h bijection linéaire de ℝ^{m} dans ℝ^{m} telle que { θ /g(θ) = 0 } = { θ /h(θ) a ses q premières composantes nulles} de plus dans le modèle linéaire généralisé θ intervient sous la forme t_{i}θ où t_{i}

est une application linéaire connue.

On reparamétrise t_{i}θ = t_{i} ∘ h^{−1}[h(θ)] On remplace θ par h(θ) et on remplace t_{i} par t_{i} ∘ h^{−1}

IV.3 Problèmes d’estimation de θ sous contraintes

θ̂_{n} désigne un des estimateurs de θ sans contrainte vérifiant les conditions II.(11).

θ̃_{n} désigne l’estimateur de θ dans la structure gaussienne tangente tel qu’il a été défini au chapitre II. on considère θ̄ ∈ H_{0} On rappelle que l’on note Γ(θ̂_{n}) = Γ_{n} et Γ(θ̄) = Γ̄ Comme précédemment on ne va pas chercher explicitement l’estimation du

maximum de vraisemblance sous les contraintes H_{0} et H. On va considérer de manière analogue à ce que l’on a déjà fait les estimateurs suivants de θ.

θ̂_{H_{0},n} projection de θ̂_{n} sur le sous-espace H_{0} au sens du produit scalaire défini par Γ_{n}.

θ̂_{H,n} projection de θ̂_{n} sur le cône polyédrique H au sens du produit scalaire défini par Γ_{n}.

De même on considère les estimateurs de θ dans la structure gaussienne tangente.

θ̃_{H_{0},n} projection de θ̃_{n} sur H_{0} au sens de Γ̄. θ̃_{H,n} projection de θ̃_{n} sur H au sens de Γ̄. Les propriétés de θ̂_{H_{0},n} et θ̃_{H_{0},n} ont été étudiés par Mathieu (1978, 1981) et

on a notamment la proposition suivante :

\underline{Proposition IV.1} Sous les conditions II.3

\sqrt{n}(θ̂_{H_{0},n} − θ̃_{H_{0},n}) ⟶^{P} 0

On a aussi le nouveau résultat suivant : \underline{Proposition IV.2} Sous les conditions II.3

\sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ̃_{H,n}) ⟶^{P} 0

\underline{Démonstration} : Pour les besoins de la démonstration, on va introduire un nouvel "estima-

teur" de θ.

θ_{H,n}^{⋆} est la projection de θ̂_{n} sur H au sens du p.s. Γ̄, en fait plus qu’un estimateurs θ_{H,n}^{⋆} est une variable de travail.

On va montrer dans un premier temps que \sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}) ⟶^{P} 0 H est un convexe fermé, θ̂_{H,n} étant la projection de θ̂_{n} sur H au sens de Γ_{n}

est caractérisé par l’inégalité suivante :

∀h ∈ H ^{t}(θ̂_{n} − θ̂_{H,n})Γ_{n}(h − θ̂_{H,n}) ≤ 0 (C_{1})

de même θ_{H,n}^{⋆} étant la projection de θ̂_{n} sur le convexe H au sens de Γ̄ est caractérisé par l’inégalité suivante :

∀h ∈ H ^{t}(θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆})Γ̄(h − θ_{H,n}^{⋆}) ≤ 0 (C_{2}) On calcule la quantité suivante : ||θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}||_{Γ_{n}}^{2} =^{t} (θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆})Γ_{n}(θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆}) =

t(θ̂_{H,n} − θ̂_{n})Γ_{n}(θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}) +^{t} (θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆})Γ_{n}(θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}) Comme θ_{H,n}^{⋆} ∈ H d’après C_{1} on a t(θ̂_{H,n} − θ̂_{n})Γ_{n}(θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}) ≤ 0 d’où l’on déduit l’inégalité suivante : ||θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}||_{Γ_{n}}^{2} ≤^{t} (θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆})Γ_{n}(θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}) =

t(θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆})(Γ_{n} − Γ̄)(θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}) +^{t} (θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆})Γ̄(θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}) Comme θ̂_{H,n} ∈ H on a d’après C_{2} t(θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆})Γ̄(θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}) ≤ 0 d’où l’on déduit ||θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}||_{Γ_{n}}^{2} ≤^{t} (θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆})(Γ_{n} − Γ̄)(θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}) On note || . ||_{e} la norme euclidienne ordinaire sur ℝ^{m} on munit l’espace

des matrices d’une norme quelconque.

On a l’inégalité suivante : ||θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}||_{Γ_{n}}^{2} ≤ Cte||Γ_{n} − Γ̄|| ||θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆}||_{e} ||θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}||_{e} la constante Cte ne dépend que du choix de la norme sur l’espace des ma-

trices.

On a aussi la relation suivante ||θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}||_{e} ≤ \frac{||θ̂_{H,n}−θ_{H,n}^{⋆}||_{Γn}^{2}}{λ_{n}^{(1)}} où λ_{n}^{(1)} désigne la plus petite valeur propre de la matrice Γ_{n}. Les deux inégalités précédentes impliquent : ||θ̂_{H,n} − θ_{H,n}^{⋆}||_{Γ_{n}}^{2} ≤ _{\frac{Cte}{\sqrt{λ_{n}^{(1)}}}} ||Γ_{n} − Γ̄|| ||θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆}||_{e} λ_{n}^{(1)} existe et est strictement positif car Γ_{n} est supposée définie positive. \sqrt{n}(θ̂_{n} − θ̄) a une limite en loi θ_{H,n}^{⋆} projection de θ̂_{n} sur H au sens de Γ̄ comme θ̄ ∈ H_{0} (θ_{H,n}^{⋆} − θ̄) est la projection de (θ̂_{n} − θ̄) sur H au sens de Γ̄. On note H^{0} le cône polaire de H pour le p.s. Γ̄ (θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆}) est la projection de (θ̂_{n} − θ̄) sur H^{0} au sens de Γ̄ d’où \sqrt{n}(θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆}) a une limite en loi

θ̂_{n} ⟶^{P} θ̄

Γ_{n} ⟶^{P} Γ̄ ⟹ ||Γ_{n} − Γ̄|| ⟶^{P} 0

On en déduit que

\frac{Cte}{\sqrt{λ_{n}^{(1)}}} ||Γ_{n} − Γ̄|| ||\sqrt{n}(θ̂_{n} − θ_{H,n}^{⋆})|| ⟶^{P} 0

d’où \sqrt{n}(θ_{H,n}^{⋆} − θ̂_{H,n}) ⟶^{P} 0

de plus on a le résultat suivant

\sqrt{n}(θ̂_{n} − θ̃_{n}) ⟶^{P} 0

La projection sur le convexe H au sens de Γ̄ étant contractante

\sqrt{n}(θ_{H,n}^{⋆} − θ̃_{H,n}) ⟶^{P} 0

Il s’ensuit que :

\sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ̃_{H,n}) ⟶^{P} 0

\underline{Corollaire} : Sous les conditions II.3

(θ̂_{H,n} − θ̂_{n}) ⟶^{P} 0

En effet [\sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ̂_{n}) − \sqrt{n}(θ_{H,n}^{⋆} − θ̂_{n})] ⟶^{P} 0

Comme \sqrt{n}(θ_{H,n}^{⋆} − θ̂_{n}) converge en loi

\sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ̂_{n}) converge en loi

et donc (θ̂_{H,n} − θ̂_{n}) ⟶^{P} 0

On considère que les conditions III.3 sur ξ sont valables et on définit la statistique suivante :

TH̃_{0,1} = nα(ξ) ||θ̃_{H,n} − θ̃_{H_{0},n}||^{2} On va d’abord établir la distribution asymptotique de TH̃_{0,1} ensuite on

construira des tests de H_{0} contre H_{1} à partir de statistiques asymptotiquement équivalentes à TH̃_{0,1}

IV.4 Distribution de TH̃_{0,1} sous P_{n}

On sait que ℒ (\sqrt{n}(θ̃_{n} − θ̄)/P_{n}) → N(0, \frac{1}{α(ξ)} Γ̄^{−1}) θ̃_{H,n} − θ̃_{H_{0},n} = (θ̃_{H,n} − θ̄) − (θ̃_{H_{0},n} − θ̄) θ̃_{H_{0},n} − θ̄ est la projection de θ̃_{n} − θ̄ sur H_{0} au sens de Γ̄ car θ̄ ∈ H_{0}. de même θ̃_{H,n} − θ̄ est la projection de θ̃_{n} − θ̄ sur H au sens de Γ̄ \underline{Proposition IV.3} Si X_{n} ⟶ N_{m}(0, Σ)

X_{H,n} projection de X_{n} sur H au sens de Σ^{−1}

X_{H_{0},n} projection de X_{n} sur H_{0} au sens de Σ^{−1}
alors ||X_{H,n} − X_{H_{0},n}||_{Σ^{−1}}^{2} ⟶ χ̄_{ψ(Σ)}^{2}

La démonstration se fait comme celle de la proposition III.2 On utilise la définition de χ̄_{ψ(Σ)}^{2} du IV.1.

On déduit de cette proposition le résultat suivant ℒ (TH̃_{0,1}/P_{n}) ⟶ χ̄_{ψ(Γ̄^{−1})}^{2}.

\underline{Remarques} : On pourrait définir, comme dans le cas du test d’une hypothèse simple, ce qu’est une loi de χ̄^{2} décentrée obtenue dans le cas du test d’une hypothèse nulle composée.

On pourrait à partir de là trouver la distribution asymptotique de TH̃_{0,1} sous P′_{n} et à partir de là étudier les "puissances" asymptotiques des tests de H_{0} contre H_{1}. Ce travail soulève de gros problèmes de calcul.

On constate dans l’expression de la loi asymptotique de TH̃_{0,1} que, sous hypothèse nulle, cette loi dépend de la matrice Γ̄ qui elle dépend de la vraie valeur du paramètre θ̄ donc si l_{α,θ̄} est défini par

P (χ̄_{ψ(Γ̄^{−1})}^{2} ≥ ℓ_{α,θ̄}) = α ℓ_{α,θ̄} en général inconnu dépendant de θ̄. On définit une statistique de test de la manière suivante T_{1,H_{0,1}} = nα(ξ̂) Γ_{n}(θ̂_{H,n} − θ̂_{H_{0},n}, θ̂_{H,n} − θ̂_{H_{0},n})

= nα(ξ̂) ||θ̂_{H,n} − θ̂_{H_{0},n}||_{Γ_{n}}^{2} \underline{Proposition IV.4} Sous les conditions II.3. et III.3.

T_{1,H_{0,1}} − TH̃_{0,1} ⟶^{P} 0

\underline{Démonstration} :

α(ξ̂) ⟶^{P} α(ξ)

Γ_{n} ⟶^{P} Γ̄

\sqrt{n}(θ̂_{H,n} − θ̃_{H,n}) ⟶^{P} 0

\sqrt{n}[(θ̂_{H,n} − θ̂_{H_{0},n}) − (θ̃_{H,n} − θ̃_{H_{0},n})] ⟶^{P} 0

donc

nα(ξ̂)Γ_{n}(θ̂_{H,n}−θ̂_{H_{0},n}, θ̂_{H,n}−θ̂_{H_{0},n})−nα(ξ)Γ̄(θ̃_{H,n}−θ̃_{H_{0},n}, θ̃_{H,n}−θ̃_{H_{0},n}) ⟶^{P} 0

d’où le résultat. On ne peut pas pour les raisons expliquées plus haut construire un test de

la manière suivante : rejet de H_{0} pour T_{1,H_{0,1}} ≥ ℓ_{α,θ̄}

soit ϕ_{1,H_{0,1}} = 𝟙_{{T_{1,H_{0,1}} ≥ℓ_{α,θ̄}}}

On définit aussi une statistique du test de rapport de vraisemblance par T_{2,H_{0,1}} = 2[L_{n}(., θ̂_{H,n}, ξ̂) − L_{n}(., θ̂_{H_{0,n}}, ξ̂)] \underline{Proposition IV.5} Sous les conditions II.3. et III.3.

T_{2,H_{0,1}} − TH̃_{0,1} ⟶^{P} 0

La démonstration de ce résultat est similaire à celle de la proposition III.4. On ne peut pas, ici non plus, construire un test par rejet de H_{0} pour

T_{2,H_{0,1}} ≥ ℓ_{α,θ̄}

L’idée qui vient pour lever cette difficulté est d’utiliser un estimateur de ℓ_{α,θ̄} Comment construire un estimateur de convenable ? Comme l’on dispose d’un estimateur de θ̄, θ̂_{n} on peut se demander si ℓ_{α,θ̂_{n}} défini de la manière suivante :

P (χ̄_{ψ(Γ̄_{n}^{−1})}^{2} ≥ ℓ_{α,θ̂_{n}}) = α n’est pas un "bon" estimateur de ℓ_{α,θ̄}. Pour étudier la qualité de ℓ_{α,θ̂_{n}} on a besoin de résultats préliminaires.

IV.5 Continuité de la probabilité orthante

Soit l’application qui à Σ matrice symétrique définie positive associe P (Σ) la probabilité orthante pour la loi normale N(0, Σ) telle qu’elle a déjà été définie.

On rappelle P (Σ) = (2π)^{k/2}|Σ|^{−1/2} ∫_{0}^{+∞} ∫_{0}^{+∞} ... ∫_{0}^{+∞} exp − \frac{1}{2} ^{t}xΣ^{−1}x dx Pour le calcul numérique de P (Σ) on renvoie aux papiers de A. Kudô (1963),

Bohrer (1975), Milton (1972), J.E. Dutt et T.K. Linn (1975).

\underline{Proposition IV.6} : L’application Σ ⟶ P (Σ) de l’ensemble des matrices symétriques définies positives k × k dans ℝ est continue.

\underline{Démonstration} : On note f(x, Σ) = (2π)^{k/2}|Σ|^{−1/2} exp − \frac{1}{2} ^{t}xΣ^{−1}x P (Σ) = ∫_{H} f(x, Σ) dx

On a : ∫_{ℝ^{k}} f(x, Σ) dx = 1

On considère une suite (Σ_{n})_{n∈ℕ} de matrices symétriques définies positives telles que Σ_{n} ⟶ Σ

∫_{ℝ^{k}} f(x, Σ_{n}) dx = 1 l’application f(x, Σ) est continue f(x, Σ_{n}) converge ponctuellement vers f(x, Σ). On peut appliquer le lemme de Scheffé voir Lehmann (1959) f(., Σ_{n}) converge en moyenne vers f(., Σ). en appliquant un autre résultat de Lehmann (1959), on trouve que ∫_{H} f(x, Σ_{n}) dx ⟶ ∫_{H} f(x, Σ) c’est-à-dire P (Σ_{n}) ⟶ P (Σ) On en déduit la continuité de P.

IV.6 Résultats complémentaires

On définit γ_{j}(Σ) de la façon suivante :

P (χ̄_{Σ}^{2} ≥ c) = ∑_{j=0}^{k} γ_{j}(Σ) P (χ_{j}^{2} ≥ c)

\underline{Proposition IV.7} L’application de l’ensemble des matrices symétriques définies positives dans ℝ^{k+1}

Σ → Σ(γ_{0}(Σ), γ_{1}(Σ), ..., γ_{k}(Σ)) est continue. Cela découle immédiatement de la définition de γ_{j}(Σ) de la proposition IV.6

et de l’expression

P (χ̄_{Σ}^{2} ≥ c) = ∑_{∅⊂M⊂K}P (χ_{n(M)}^{2} ≥ c) P ((Σ_{M′})^{−1}) P (Σ_{M,M′})

Soit γ = (γ_{0}, γ_{1}, ..., γ_{k}) ∈ ℝ^{k+1} tels que 0 ≤ γ_{i} ≤ 1 ∀i = 0, 1, ..., k

∑_{i=0}^{k} γ_{i} = 1

γ_{k} > 0

On note χ̄_{γ}^{2} la loi de χ̄^{2} dépendant du paramètre γ de la manière suivante

P (χ̄_{γ}^{2} ≥ c) = ∑_{j=0}^{k} γ_{j} P (χ_{j}^{2} ≥ c)

et on définit c_{α,γ} par P (χ̄_{γ}^{2} ≥ c_{α,γ}) = α \underline{Proposition IV.8} Si α est donné l’application de ℝ^{k+1} dans ℝ

γ → c_{α,γ} est continue.

\underline{Démonstration} :

P (χ̄_{γ}^{2} ≥ c) = ∑_{j=0}^{k} γ_{j} P (χ_{j}^{2} ≥ c) = G(γ, c)

α est supposé différent de 1 car les tests de niveau 1 n’ont absolument aucun intérêt. c_{α,γ} sera toujours différent de 0.

G(γ, c) est une fonction continûment différentiable de γ et de c. γ ∈ ℝ^{k+1}, c ∈]0, +∞[. \frac{∂}{∂c}G(γ, c) ≤ 0 en appliquant le théorème des fonctions implicites voir Cartan (1967) on

trouve que c_{α,γ} est une fonction continue de γ.

\underline{Proposition IV.9.} Sous les conditions II.3

ℓ_{α,θ̂_{n}} ⟶^{P} ℓ_{α,θ̄}

\underline{Démonstration} : Il découle des propositions IV.7 et IV.8 que l’application de Θ dans ℝ qui à θ associe ℓ_{α,θ̂} est continue en tant que composée d’applications continues. Comme θ̂_{n} ⟶^{P} θ̄ on déduit le résultat.

IV.7 Un test de H_{0} contre H_{1}

On construit un test de H_{0} contre H_{1} de la manière suivante : rejet de H_{0} pour T_{1,H_{0,1}} ≥ ℓ_{α,θ̂_{n}}.

soit ϕ_{1,H_{0,1}} = 𝟙_{{T_{1,H_{0,1}} ≥ℓ_{α,}θ̂_{n}}}

Le test ainsi construit est de niveau asymptotique constant égal à α; en effet :

\begin{matrix}ℒ (TH̃_{0,1}/P_{n}) → χ̄_{ψ(Γ̄^{−1})}^{2} \\ l_{α,θ̂_{n}} ⟶^{P} l_{α,θ̄} \end{matrix} \} ⟹

ℒ (TH̃_{0,1} − ℓ_{α,θ̂_{n}}/P_{n}) → χ̄_{ψ(Γ̄^{−1})}^{2} − ℓ_{α,θ̄}

lim_{n→∞}P_{n}(TH̃_{0,1} ≥ ℓ_{α,θ̂_{n}}) = lim_{n→∞}P_{n}(TH̃_{0,1} − ℓ_{α,θ̂_{n}} ≥ 0) =

P (χ̄_{ψ(Γ̄^{−1})}^{2} − ℓ_{α,θ̄} ≥ 0) = P (χ̄_{ψ(Γ̄^{−1})}^{2} ≥ ℓ_{α,θ̄}) = α D’après la proposition IV.4 T_{1,H_{0,1}} est asymptotiquement distribué comme

la variable TH̃_{0,1} et donc ϕ_{1,H_{0,1}} est bien de niveau asymptotique α.

IV.8 Test du rapport de vraisemblance

On définit ce test par ϕ_{2,H_{0,1}} = 𝟙_{{T_{2,H_{0,1}} ≥ℓ_{α,}θ̂_{n}}} \underline{Remarques} :

· Les deux tests T_{1,H_{0,1}} et T_{2,H_{0,1}} sont asymptotiquement équivalents · Il existe des cas où ℓ_{α,θ} peut être connu, par exemple si ∀θ ∈ H_{0} ℓ_{α,θ} = ℓ_{α} . θ̂_{n} ⟶^{P} θ̄ veut dire aussi θ̂_{n} ⟶^{P′_{n}} θ̄

on a aussi donc ℓ_{α,θ̂_{n}} ⟶^{P′_{n}} ℓ_{α,θ̄}

lim_{n→∞}P′_{n}(TH̃_{0,1} ≥ ℓ_{α,θ̂_{n}}) = lim_{n→∞}P′_{n}(TH̃_{0,1} ≥ ℓ_{α,θ̄})

Cela veut dire que les tests construits avec ℓ_{α,θ̂_{n}} sont asymptotique-

ment aussi "puissants" que les tests que l’on pourrait construire avec ℓ_{α,θ̄} si cette quantité était connue.

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Table des matières

I RAPPELS SUR LES TESTS D’HYPOTHÈSES RESTREINTES DANS LE CAS GAUSSIEN 3 I.1 Tests unilatéraux dans une structure gaussienne . . . . . . . . . . 4 I.2 La régression isotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.2.1 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.2.2 Propriétés de la régression isotone . . . . . . . . . . . . . 8 I.2.3 Calcul de la régression isotone . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.2.4 Estimation du maximum de vraisemblance sous contraintes

d’ordre dans une structure gaussienne. . . . . . . . . . . . 9

I.3 Test du rapport de vraisemblance dans le cas normal d’une hypothèse d’homogénéité contre une hypothèse ordonnée des moyennes 10 I.3.1 Test du χ̄^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I.3.2 Test du Ē^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.3.3 calcul des p(ℓ, k) dans le cas de l’ordre simple et des poids

égaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.4 Équivalent du test unilatéral dans le cas multidimensionnel … 13 I.5 Test de H contre ℝ^{k}\H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.6 Expression de la loi de χ̄_{Σ}^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I.7 Lois de χ̄^{2} décentrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRALISÉ 21 II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 II.2 Modèle linéaire généralisé multidimensionnel . . . . . . . . . . . 23 II.3 - Notations - Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II.3.2 Expressions de L′_{n}(., θ, ξ), L′′_{n}(., θ, ξ), L′′′_{n}(., θ, ξ) . . . . . . 24 II.3.3 Hypothèse sur la moyenne de Ω_{i} . . . . . . . . . . . . . . 26 II.3.4 Définition d’un Produit scalaire sur ℝ^{m} et ℝ^{m⋆} . . . . . . 27 II.3.5 Conditions de régularité sur les dérivées de L_{n}(., θ, ξ) … 27 II.3.6 Condition concernant Ω_{i} − μ′_{i} . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II.4 Estimateurs de θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 II.4.1 Limite de ℒ (\frac{L̄′_{n}}{\sqrt{n}}/P_{n}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.4.2 Contiguïté de {P_{n}} et {P′_{n}} . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.4.3 Limite de ℒ (\frac{L̄′_{n}}{\sqrt{n}}/P′_{n}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.4.4 Comportement asymptotique de l’estimateur du maximum

de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II.5 Structure gaussienne tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

IIITESTS DU χ̄^{2} DANS LE MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRA-LISÉ 31 III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 III.2 Estimation de θ sous contrainte d’appartenance à un cône poly-

édrique convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 III.3 Conditions sur ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 III.4 Distribution asymptotique de TH̃_{0,1} . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

III.4.1 Distribution de TH̃_{0,1} sous P_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . 34 III.4.2 Distribution de TH̃_{0,1} sous P′_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III.5 Un test de H_{0} contre H_{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 III.6 Test du rapport de vraisemblance de H_{0} contre H_{1}. . . . . . . . . 36 III.7 Tests de H contre ℝ^{m}\H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.7.1 Un test de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 III.7.2 Test du rapport de vraisemblance de H . . . . . . . . . . 41 III.7.3 Test des multiplicateurs de Lagrange. . . . . . . . . . . . 42

IV UNE EXTENSION DES TESTS DU χ̄^{2} AU CAS OÙ L’HY-POTHÈSE NULLE EST COMPOSÉE DANS LE G.L.I.M. 45 IV.1 Introduction : étude dans le cas normal . . . . . . . . . . . . . . 46 IV.2 Étude dans le cadre du modèle linéaire généralisé . . . . . . . . . 47 IV.3 Problèmes d’estimation de θ sous contraintes . . . . . . . . . . . 48 IV.4 Distribution de TH̃_{0,1} sous P_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 IV.5 Continuité de la probabilité orthante . . . . . . . . . . . . . . . . 54 IV.6 Résultats complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 IV.7 Un test de H_{0} contre H_{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 IV.8 Test du rapport de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59